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数学建模课件1720讲第18讲

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常见问题

1、数学建模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。勒内笛卡尔,第4章概率与随机模型,数学建模,报童模型,内容,1,供货时间随机的货物存储模型,2,钢琴库存策略评价模型,4,生产方案的设计模型,3,随机预测模型,5,第18讲供货时间随机的货物存储模型生产方案的设计模型,第4章概率与随机模型,在允许缺货模型中，供货时间往往不能事先预知，而是在某时刻提出订货需求，然后在一段随机长度时间后，货物才能到来，即供货时间为随机变量。这就是供货时间为随机的货物存储问题。问题已知商品订货费为c1，每件商品单位时间的储存费为c2、缺货费为c3，单位时间商品需求量为r（常值）。在订货点L订货，供货时间x是连续型随机变量，其取值为 x1, x2, ，概率密度函数为p(x)。,数学建模,4.2 供货时间随机的货物存储模型,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,问题：供货过程如下图。当贮存量q(t)降到订货点L时订货，订货量使下一周期初的贮存量达到固定值Q。为了使总费用最小，选择合适的目标函数建立数学模型, 确定最佳订货点L。,问题分析总费用包含三个部分：订货费、储存费和缺货费；

2、储存费和缺货费依赖于供货时间 x的取值；将总费用表示为随机变量 x的函数，再求出总费用的数学期望，并作为目标函数；运用优化方法求出最佳的订货点L。,数学建模,4.2 供货时间随机的货物存储模型,模型建立当储存量为L时，订货，订货时刻一个周期总时间为周期末的库存量为,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,一个订货周期内的总费用,一个周期总费用为：订货费与存储费之和,一个周期内的总费用为：订货费、存储费及缺货费之和,缺货,数学建模,一个周期的总费用为,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,单位时间的平均总费用为,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,已知x的概率密度函数为p(x) ，所以单位时间平均总费用的数学期望为,关于L的函数，采用函数极值方法可得最佳订货点。,4.2 供货时间随机的货物存储模型,一般无法求出解析结果,数值计算,数学建模,求最佳订货点使单位时间的费用最小,最优订货点大致在L=500左右,4.2 供货时间随机的货物存储模型,数学建模,结果分析,平均到货时间,平均到货时间越长，最优订货点L越大，与事实相符。,4.2 供货时间随机的货物存储

3、模型,最优订货点大致在L=250左右,许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成，其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的。中心极限定理表明：若一个量受许多随机因素（主导因素除外）的共同影响而随机取值，则它的分布就近似服从正态分布。利用这一理论可解决实际中的很多问题，如生产方案的设计问题。,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,问题：某商品的需求是随机的，因为消费者在一定时期内是否购买该商品具有随机性。当厂家的产量大于需求量时，会导致商品积压；当厂家的产量小于需求量时，供给难以满足需求。试解决如下三类问题： 1）某工厂负责供应某地区n个家庭的商品供应，在一段时间内每个家庭购买一件该商品的概率为p，假定在这段时间内每个家庭购买与否彼此独立，现该工厂仅生产M1件商品，试估计能满足该地区人们需求的概率。,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,数学建模,2）若工厂至少要保证有的概率满足该地区该产品的需求，试求该工厂需要生产商品的件数M2 。 3）如果该商品的次品率为p, 而在一段时间内共需M3件该商品，且要求至少有的概率来保证居民购买到的是正品，求该工厂

4、的生产量M3。,上述三类问题中均存在服从某个参数的二项分布，在参数n相对较大的前提下，可以应用中心极限定理近似求解此问题。,问题分析,1）若记该地区购买商品总数量服从参数为(n,p) 的二项分布。由中心极限定理可知，当n充分大时 Tn近似地服从正态分布，于是,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,模型建立与求解,满足该地区人们需求的概率,2）若记，则需生产的商品件数M2必须满足,数学建模,该工厂至少需要生产件商品才能保证至少有的概率满足该地区该产品的需求。,4.3 生产方案的设计模型,3）考虑产品中存在次品的情况,数学建模,要满足至少有的概率来保证居民购买到的是正品,中心极限定理,生产量S满足的条件,4.3 生产方案的设计模型,数值算例设某洗衣机厂生产洗衣机以满足某地区1000个家庭的需求，经验表明：每一用户对该洗衣机的年需求量服从参数为1的泊松分布，现在该厂这种洗衣机的年产量为1100台，回答下面问题：,数学建模,1）求能够满足该地区需求的概率是多少？,2）若该厂要有97.5%的概率满足客户的需求，则该厂每年至少生产多少台这种洗衣机？,3）该厂的洗衣机的出厂正

5、品率为98%，现估计一年内该地区的社会总需求量为900台，则为了有99.9%的概率保证客户购买到的是正品洗衣机，则该厂该年至少生产多少台洗衣机?,4.3 生产方案的设计模型,求解设这1000户家庭对这种洗衣机的年需求量相互独立, 且依次记为服从参数为1 的泊松分布设T1000为1000个家庭对这种洗衣机的年需求总量,数学建模,独立同分布中心极限定理,近似服从正态分布 N(1000,1000),4.3 生产方案的设计模型,1）现在该厂的年产量为1100台，则能满足客户需求的概率为 2）若该厂要有97.5%的概率满足需求，则设该厂安排年产量为M台，则M应满足：,数学建模,4.3 生产方案的设计模型,3）该厂该年至少生产多少台洗衣机? S: 当洗衣机正品率为98%时的生产量 :表示第i台洗衣机的正次品情况 : S台洗衣机中的次品总数 : S台洗衣机中的正品总数,数学建模,服从参数为S和0.02的二项分布,4.3 生产方案的设计模型,数学建模,故产量的最小值应为932台。此时，应生产出932台洗衣机才能有99.9%的概率使得顾客买到的是正品。,中心极限定理,近似服从正态分布N(0.02S, 0.0196 S),查正态分布表,4.3 生产方案的设计模型,Thank you,

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