Matlab 数学建模中的数据处理方法
80页1、数学建模中的数据处理方法,主要内容,曲线插值与拟合 数值微分与积分 微分方程数值解 优化问题 回归分析 判别分析,曲线插值与拟合,一维插值 二维插值 曲线拟合,一维插值,对表格给出的函数,求出没有给出的函数值。 在实际工作中,经常会遇到插值问题。 下表是待加工零件下轮廓线的一组数据,现需要得到x坐标每改变0.1时所对应的y的坐标.,一维插值,下面是关于插值的两条命令(专门用来解决这类问题): y=interp1(x0,y0,x,method) 分段线性插值 y=spline(x0,y0,x) 三次样条插值 x0,y0是已知的节点坐标,是同维向量。 y对应于x处的插值。y与x是同维向量。 method可选nearest(最近邻插值),linear(线性插值),spline(三次样条插值),cubic(三次多项式插值),一维插值,解决上述问题,我们可分两步: 用原始数据绘图作为选用插值方法的参考. 确定插值方法进行插值计算,一维插值(px_lc11.m),对于上述问题,可键入以下的命令: x0=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15; y0=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2
2、.0,1.8,1.2,1.0,1.6 plot(x0,y0) %完成第一步工作 x=0:0.1:15; y=interp1(x0,y0,x); %用分段线性插值完成第二步工作 plot(x,y) y=spline(x0,y0,x); plot(x,y) %用三次样条插值完成第二步工作,练习,对y=1/(1+x2),-5x5,用n(=11)个节点(等分)作上述两种插值,用m(=21)个插值点(等分)作图,比较结果。(see:px_ex_lc1.m) 在某处测得海洋不同深度处水温如下表:求深度为500、1000、1500米处的水温。 (see:px_ex_lc2.m),二维插值,MATLAB中二维插值的命令是: z=interp2(x0,y0,z0,x,y,meth),二维插值,在一个长为5个单位,宽为3个单位的金属薄片上测得15个点的温度值,试求出此薄片的温度分布,并绘出等温线图。(数据如下表),二维插值(px_lc21.m),temps=82,81,80,82,84;79,63,61,65,87;84,84,82,85,86; mesh(temps) %根据原始数据绘出温度分布图,可看
3、到此图的粗造度。,二维插值,%下面开始进行二维函数的三阶插值。 width=1:5; depth=1:3; di=1:0.2:3; wi=1:0.2:5; WI,DI=meshgrid(wi,di);%增加了节点数目 ZI=interp2(width,depth,temps,WI,DI,cubic); % 对数据(width,depth,temps)进 % 行三阶插值拟合。 surfc(WI,DI,ZI) contour(WI,DI,ZI),二维插值,曲线拟合,假设一函数g(x)是以表格形式给出的,现要求一函数f(x),使f(x)在某一准则下与表格函数(数据)最为接近。 由于与插值的提法不同,所以在数学上理论根据不同,解决问题的方法也不同。 此处,我们总假设f(x)是多项式。,曲线拟合,问题:弹簧在力F的作用下伸长x厘米。F和x在一定的范围内服从虎克定律。试根据下列数据确定弹性系数k,并给出不服从虎克定律时的近似公式。,曲线拟合,解题思路:可以用一阶多项式拟合求出k,以及近似公式。 在MATLAB中,用以下命令拟合多项式。 polyfit(x0,y0,n) 一般,也需先观察原始数据的图
4、像,然后再确定拟和成什么曲线。,曲线拟合(px_lc31.m),对于上述问题,可键入以下的命令: x=1,2,4,7,9,12,13,15,17; F=1.5,3.9,6.6,11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1; plot(x,F,.) 从图像上我们发现:前5个数据应与直线拟合,后5个数据应与二次曲线拟合。于是键入 : a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1); a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2),曲线拟合,注意:有时,面对一个实际问题,究竟是用插值还是用拟合不好确定,还需大家在实际中仔细区分。同时,大家(包括学过计算方法的同学)注意去掌握相应的理论知识。,数值微分与积分,数值积分 数值微分,数值积分,先看一个例子: 现要根据瑞士地图计算其国土面积。于是对地图作如下的测量:以西东方向为横轴,以南北方向为纵轴。(选适当的点为原点)将国土最西到最东边界在x轴上的区间划取足够多的分点xi,在每个分点处可测出南北边界点的对应坐标y1 ,y2。用这样的方法得到下表 根据地图比例知18mm相当于40km,试由上表计算瑞士国土的近似面积。(精确值
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