2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第一章 计数原理1.1 第1课时

1、1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时两个计数原理学习目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题知识点一分类加法计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车思考该志愿者从上海到天津的方案可分几类？共有多少种出行方法？答案两类，即乘飞机、坐火车共有7613(种)不同的出行方法梳理(1)完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法(2)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法知识点二分步乘法计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车思考该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？共有多少种出行方法？答案两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津共有7642(种)不同的出行方

2、法梳理(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法(2)完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法1在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()3在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()4在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成()类型一分类加法计数原理例1设集合A1,2,3,4，m，nA，则方程1表示焦点位于x轴上的椭圆的有()A6个 B8个C12个 D16个考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案A解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn.当m4时，n1,2,3；当m3时，n1,2；当m2时，n1，即所求的椭圆共有3216(个)反思与感悟(1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是互不干扰的，无论哪种方案中的哪种

3、方法，都可以独立完成这件事(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练1满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D10考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析由已知得ab1.若a1时，b1,0,1,2，有4种可能；若a0时，b1,0,1,2，有4种可能；若a1时，b1,0,1，有3种可能；若a2时，b1,0，有2种可能共有(a，b)的个数为443213.类型二分步乘法计数原理例2一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.根据分步乘法计数原理，共可以组成N1010101010 000(个)四位数的号码引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码

4、？解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m110；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m29；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m38；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m47.根据分步乘法计数原理，共可以组成N109875 040(个)四位数的号码反思与感悟(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路分步：将完成这件事的过程分成若干步；计数：求出每一步中的方法数；结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果跟踪训练2从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，可组成不同的二次函数共_个，其中不同的偶函数共_个(用数字作答)考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案186解析一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数33218(个)若二次函数为偶函数，则b0.a的取法有3种，c的取法有2种，则由

5、分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数326(个)类型三辨析两个计数原理例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法根据分类加法计数原理，共有52714(种)不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有52770(种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5735(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2714(种)不同的选法所以共有10351459(种)不同的选法反思与感悟(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后

6、给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律(3)混合问题一般是先分类再分步跟踪训练3在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法；在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选互相搭配，可得四类不同的选法从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326(种)选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326(种)选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有224(种)选法；2名既会下象

7、棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法所以共有664218(种)选法所以共有18种不同的选法1从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A1113 B3429C34224 D以上都不对考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3429(种)不同的走法2现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7 B12 C64 D81考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案B解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法故共有4312(种)不同的配法3若x，yN*，且xy5，则有序自然数对(x，y)的个数为()A6 B8 C9 D10考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案D

8、解析当x1时，y1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；当x2时，y1,2,3，共构成3个有序自然数对；当x3时，y1,2，共构成2个有序自然数对；当x4时，y1，共构成1个有序自然数对根据分类加法计数原理，共有N432110(个)有序自然数对45名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有_种(用数字作答)考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案9解析分为两类：两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有236(种)选法，即共有9种不同选法5某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法由分类加法计数原理可得，共有N810624(种)不同的选法(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法由分步乘法计数原理可得，共有N8106480(种)不同的选法(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有810种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有106种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有86种不同的选法因此，共有N81010686188(种)不同的选法1使用两个原理解题的本质

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