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2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版选修1_1

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常见问题

1、3.3.1函数的单调性与导数学习目标：1.理解函数的单调性与导数的关系(重点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间(重点)3.能根据函数的单调性求参数(难点)自主预习探新知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0这个说法正确吗？提示不正确，应该是f(x)0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)基础自测1思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数值在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()(4)在区间(a，b)内，f(x)0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)2函数yx3x的单调递增区间为()A(0，)B(，1)C(1，) D(，)Dy

2、3x210，故选D.3若在区间(a，b)内，f(x)0，且f(a)0，则在(a，b)内有() 【导学号：97792146】Af(x)0 Bf(x)0知函数f(x)在区间(a，b)内是增函数，且f(a)0，故f(x)0.合作探究攻重难函数的单调性与单调区间(1)函数f(x)3x22ln x的单调递减区间为_(2)设函数f(x)xaln x(aR)，讨论f(x)的单调性思路探究(1)求f(x)解不等式f(x)0(2)求f(x)根据a的取值判断f(x)的正负号解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)6x令f(x)0，即0，解得x0，故0x.即函数f(x)3x22ln x的单调递减区间为.答案(2)f(x)的定义域为(0，)f(x)1.令g(x)x2ax1，其判别式a24.当|a|2时，0，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a0，g(x)0的两根都小于0.在(0，)上，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根为x1，x2.当0x0；当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0.故f(x)分别在，上单调递增，在上单调递减规律方法求函数yf

3、(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解不等式f(x)0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f(x)0，得x1，所以函数的单调递增区间为和(1，)，故选A. (2)讨论函数f(x)x2aln x(aR，a0)的单调性解函数定义域为(0，)，f(x)x.当a0时，f(x)x0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，)；当a0时，由f(x)x0，得x；由f(x)x0，得0x，所以当a0时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是(0，)综上，当a0时，单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当a0时，单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)导数与函数图象的关系(1)f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图331所示，则函数yf(x)的图象可能是()图331(2)已知函数yf(x)的图象如图332所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的 () 【导学号：97792147】图332解析(1)由f(x)0(f(x)0且越来越大f(x)0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)0且越来越小绝对值越来越大

4、f(x)0且越来越大绝对值越来越小提醒：函数图象变化得越快，f(x)的绝对值越大，不是f(x)的值越大跟踪训练2(1)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图333所示，则导函数yf(x)可能为()图333D由函数的图象知：当x0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确(2)函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图334，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_图334(2,3)根据导数和图象单调性的关系知当x(2,3)时f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.跟踪训练3(1)若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_. 【导学号：97792148】1，)由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00，f(x)的单调递增区间为(0，)；.当a0时，f(x)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)，f(x)0f(x)递减递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，)由g(x)x22aln x，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立，令h(x)x2，则h(x)2x0，yxex在(0，)内为增函数2在R上可导的函数f(x)的图象如图335所示，则关于x的不等式xf(x)0时，f(x)0，此时0

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