向量内积的定义及 运算 规律
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1、定义,向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质：, 向量的长度,定义, 向量的夹角,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基,定理,定义, 正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 单位化,定义, 正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交,定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,定义, 方阵的特征值和特征向量, 有关特征值的一些结论,定理,定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量, 有关特征向量的一些结论,定义,矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性, 相似矩阵, 有关相似矩阵的性质,若 与 相似，则 与 的特征多项式 相同，从而 与 的特征值亦相同,(4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线 性无关的特征向量,(5) 有 个互异的特征值，则 与对角阵相似, 实对称矩阵的相似矩阵,定义, 二次型,二次型与它的矩阵是一一对应的,定义, 二次型的标准形,
2、化二次型为标准形,定义, 正定二次型, 惯性定理,注意, 正定二次型的判定,一、证明所给矩阵为正交矩阵,典 型 例 题,二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组,三、特征值与特征向量的求法,四、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值,五、求方阵 的特征多项式,六、关于特征值的其它问题,七、判断方阵 可否对角化,八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,一、证明所给矩阵为正交矩阵,证明,将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化,二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组,解一 先正交化，再单位化,解二 同时进行正交化与单位化,第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量,三、特征值与特征向量的求法,第一步 计算 的特征多项式；,第二步 求出特征多项式的全部根，即得 的全部 特征值；,解 第一步 计算 的特征多项式,第三步 求出 的全部特征向量,解,四、已知 的特征值，求与 相关 矩阵的特征值,解,五、求方阵 的特征多项式,解,六、关于特征值的其它问题,方法一,方法二,方法三,解,七、判断方阵 可否对角化,解 (1) 可对角化的充分条件是 有 个互异的 特征值下面求出 的所有特征值,解 第一步 求A的特征值由,八、利用正交变换将实对称矩阵化为 对角阵,九、化二次型为标准形,解 第一步 将 表成矩阵形式,解,第五章 测试题,一、填空题(每小题4分，共32分),二、计算题（共40分）,三、证明题（共20分）,四、（8分）设二次型,经正交变换 化成,测试题答案,
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