2018_2019版高中数学第二章证明不等式的基本方法测评新人教A版选修4

1、第二讲 证明不等式的基本方法测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知1a1b,则下列不等式成立的是()A.abB.1a21b2D.aba-b1b得1a-1b0,即b-aab0,则aba-bqC.pqD.p0,且qp=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+11,所以qp.答案C3.(2017江西二模)求证x=x1+x2+xnn,p=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+(xn-a)2,若ax,则一定有()A.pqB.pqC.p,q的大小不定D.以上都不对解析设f(x)=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,则f(x)=nx2-2(x1+x2+xn)x+x12+x22+xn2.当x=x1+x2+xnn时,f(x)取得最小值,即pb与ab与ab与a0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析因为f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,且a30,所以f(a3)f(0)=0,而a1+a5=2a3,所以a1+a50,则a1-

2、a5,于是f(a1)f(-a5),即f(a1)-f(a5),所以f(a1)+f(a5)0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)0.答案A6.要使3a-3b3a-b成立,a,b应满足的条件是()A.abbB.ab0,且abC.ab0,且a0,且ab或ab0,且ab解析3a-3b3a-ba-b+33ab2-33a2ba-b3ab20时,有3b3a,即ba;当ab3a,即ba.答案D7.设a,b,cR,且a,b,c不全相等,则不等式a3+b3+c33abc成立的一个充要条件是()A.a,b,c全为正数B.a,b,c全为非负实数C.a+b+c0D.a+b+c0解析a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=12(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,而a,b,c不全相等(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.故a3+b3+c3-3abc0a+b+c0.答案C8.设a,b,c,dR,若a+d=b+c,且|a-d|b-c|,则有()A.ad=bcB.adbcD.adbc解析|a-d|b-c|(a-d)2(b-c)2a2+d2-2adb2+c

3、2-2bc,因为a+d=b+c(a+d)2=(b+c)2a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4adbc.答案C9.使不等式3+81+a成立的正整数a的最大值是()A.10B.11C.12D.13解析用分析法可证当a=12时不等式成立,当a=13时不等式不成立.答案C10.已知a,b,c(0,+),若ca+bab+cbc+a,则()A.cabB.bcaC.abcD.cba解析由ca+bab+cbc+a可得ca+b+1ab+c+1bc+a+1,即a+b+ca+ba+b+cb+cb+cc+a.由a+bb+c可得ac,由b+cc+a可得ba,于是有can,m,nN+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,其中x1,则()A.abB.abC.abD.a1,所以lg x0.当lg x=1时,a-b=0,所以a=b;当lg x1时,a-b0,所以ab;当0lg x0,所以ab.综上,ab.答案B12.已知x,y0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y2(2+1)B.xy2+1C.x+y(2+1)2D.xy2+1解析由xy-(x+y)=1可得xy=1

4、+x+y1+2xy,即(xy)2-2xy-10,所以xy2+1,则xy(2+1)2,排除B和D;因为xy=x+y+1x+y22,解得x+y2(2+1).故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.当x1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析因为x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x1,所以(x-1)(x2+1)0.因此x3-(x2-x+1)0,即x3x2-x+1.答案x3x2-x+114.设0mnab,函数y=f(x)在R上是减函数,下列四个数fba,fab,fb-ma-m,fa+nb+n的大小顺序是.解析aba+nb+n1bafa+nb+nfbafb-ma-m.答案fabfa+nb+nfbafb-ma-m15.若aa+bbab+ba,则a,b应满足的条件是.解析因为aa+bbab+ba(a-b)2(a+b)0a0,b0,且ab.答案a0,b0,且ab16.设a,b为正数,为锐角,M=a+1sinb+1cos,N=(ab+2)2,则M,N的大小关系是.解析因为a0,b0,为锐角,所以N=ab+22

5、ab+2,M=ab+bsin+acos+1sincosab+22absin2+2sin2当且仅当bsin=acos时,等号成立.又sin 21,所以Mab+22ab+2=N,当且仅当a=b,且=4时,等号成立.答案MN三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设ab0,求证a2-b2a2+b2a-ba+b.证明因为ab0,所以a2-b2a2+b20,a-ba+b0.又a2-b2a2+b2a-ba+b=(a+b)2a2+b2=1+2aba2+b21,故a2-b2a2+b2a-ba+b.18.(本小题满分12分)设a,b0,ab,求证a3b2+b3a2a+b.证明a3b2+b3a2-(a+b)=a3b2+b3a2-a3a2+b3b2=(a3-b3)1b2-1a2=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)a2b2,因为a,b0,ab,所以a+b0,(a-b)20,a2+ab+b20,a2b20,所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)a2b20.故a3b2+b3a2a+b.19.(本小题满分12分)已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明ax+by1.

6、证明要证ax+by1成立,只需证1-(ax+by)0,只需证2-2ax-2by0.因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by0,即证(a-x)2+(b-y)20,显然成立.所以ax+by1.20.(本小题满分12分)设a,b,c,d是正数,试证明下列三个不等式:a+bc+d;(a+b)(c+d)ab+cd;(a+b)cdab(c+d)中至少有一个不正确.证明假设不等式都正确.因为a,b,c,d都是正数,所以两不等式相乘并整理,得(a+b)2ab+cd.由式,得(a+b)cd0,(a+b)(c+d)ab+cd,所以4cdab+cd.所以3cdab,即cdab3.由式,得(a+b)24ab3,即a2+b2-23ab,与平方和为正数矛盾.故假设不成立,即不等式中至少有一个不正确.21.导学号26394042(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)12.证明由已知及三个正数的算术-几何平均不等式可得1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)331a(1+b)1b(1+c)1c(1+a)

7、=33abc(1+a)(1+b)(1+c)=33abc3(1+a)(1+b)(1+c)3a+b+c31+a+1+b+1+c3=323=12(当且仅当a=b=c=2时,等号成立),故原不等式成立.22.导学号26394043(本小题满分12分)设Sn为数列an的前n项和,Sn=nan-3n(n-1)(nN+),且a2=11.(1)求a1的值;(2)求数列an的前n项和Sn;(3)设数列bn满足bn=nSn,求证b1+b2+bn233n+2.(1)解当n=2时,由Sn=nan-3n(n-1),得a1+a2=2a2-32(2-1),又a2=11,可得a1=5.(2)解当n2时,由an=Sn-Sn-1,得an=nan-3n(n-1)-(n-1)an-1-3(n-1)(n-2),整理,得an-an-1=6(nN,n2).又a2-a1=6,所以数列an是首项为5,公差为6的等差数列.所以an=5+6(n-1)=6n-1.故Sn=n(a1+an)2=3n2+2n.(3)证明bn=nSn=13n+2=223n+223n-1+3n+2=2(3n+2-3n-1)(3n-1+3n+2)(3n+2-3n-1)=23(3n+2-3n-1),所以b1+b2+bn23(5-2)+(8-5)+(11-8)+(3n+2-3n-1)=23(3n+2-2)233n+2.故b1+b2+bn233n+2成立.

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