实变函数542课件

1、第四节 微分与不定积分,目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。 重点与难点：单调函数的性质与结构。,4.2 单调函数的结构,基本内容： 一问题的提出 问题1：Newton-Leibniz公式告诉我们 什么？它的重要性表现在什么 地方？对于Lebesgue积分而言， 能否建立类似的结论？,第二节 单调函数的结构,牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果 是 a, b 上的连续函数，则 是 的一个原函数，即 。,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,假如我们将Riemann积分换成Lebesgue积分，类似的结论是否仍成立？具体地说，若 是a,b上的Lebesgue可积函数，则 在a,b上是否可导？如果可导，其导函数是否等于 ？,另一方面，如果 是 a, b 上的可导函数，则 在 a, b 上是否可积？如果可积，则 是否等于 ？不难看到，无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言，一个函数即使处处有导数，其导函数未必是可积的。,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,例如，若 则 在0,1上处处有导数，然而 在0,1上却

2、是不可积的 (参见江泽坚、吴智泉合编实变函数论第二版，高教出版社1998)。那么，什么样的函数的导函数是可积的呢？ 这正是我们关心的问题。,二. 单调函数的间断点 定义1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集 E 上的有限函数，如果对任意， 当 时，不等式 恒成 立， 就称 f 是 E 上的单调增加函数。 如果 恒成立，则称 f 为 E 上的严格单调增加函数。,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,如果当 时，不等式 恒成立， 则称 f 是 E 上的单调递减函数。若不等式 恒成立，则称 f 为 E上的严格单调递减函数。,第二节 单调函数的结构,问题2：单调函数的间断点哪些类 型？间断点有多少？,第二节 单调函数的结构,若 f 是 E 上的有限函数， 在 点的右极限 存在，则称 为 f 在 点的右方跳跃度，若 f 在 点的左极限 存在，则称 为 f 在 点的左方跳跃度。,第二节 单调函数的结构,若 f 在 的左、右极限都存在，但其左、右方跳跃度不全为 0 (即 不全相等)，则称 为 f 的第一类不连续点，若 f 的不连续点不是第一类的，则称为第二类不连续点。,定理1 设 f 是

3、 a, b 上的单调递增函数，则 f 具有下列性质： (1) f 的不连续点全是第一类的； (2) f 的不连续点集至多可数； (3) f 在不连续点的左、右方跳跃度都是非负的，并且所有跳跃度的总和不超过 。,第二节 单调函数的结构,证明：(1) 首先证明，对任意 存在。事实上，由于 ，故存在 N，当 时， ，由单调性得 且 是单调下降的序列，故 存在，且 。,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,记 ，则对任意 ， 存在 ，使得 ， 对任意 ，显然有 ， 由 f 的单调性得 ， 因此 ，即 。,类似可证 也存在，故 f 的不连续点必是第一类不连续点。 (2) 由 (1) 的证明知对任意 ，有 ，当 时显然 ，当 时， ，这说明 f 在 中任一点的左、右方跳跃度均非负，,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,设 F 为 f 在 上的不连续点全体，若 ，且 ，则由 f 的单调性可知 ，因此开区间 与 互不相交，且由于 F 中点为不连续点，故 。记 F 为 中开区间全体所成的类。,第二节 单调函数的结构,作对应关系 如下： ， 并记 ， 则 是 中互不相交的开区间构成的

4、集类，从而最多可数，显然 是 F 到 的一一对应，所以 F 也是至多可数的集合。,第二节 单调函数的结构,(3) 记 ，对任意正整数 N，不妨设 ，取 ， 则 ， 因此 ，,第二节 单调函数的结构,进而,令 立得,证毕。,三单调函数的可积性 问题3：a,b上的单调函数是否一定 是R-可积的？为什么？,第二节 单调函数的结构,定理2 设 f 是 a,b 上单调增加的有限函数，则 f 是 a,b 上的Riemann可积函数。,第二节 单调函数的结构,证明：由于 f 在 a,b 上有限，故 ， 从而由单调性知 f 是 a,b 上的有界函数，由定理1知 f 至多有可数个不连续点，其不连续点集显然是零测集，由本章2定理6知 f 必是Riemann可积函数，证毕。,第二节 单调函数的结构,四. 跳跃函数 问题4：能否找到一个结构相对简单 的函数，其间断点与所给定 的单调函数相同？且对应点 处的跳跃度也相同？找一个 在一点间断的例子。,定义2 设 是两组数 ( p 是正整数或 )，满足 ，设 是 中的 p 个点，称下列函数 为跳跃函数，其中 是所谓的Heaviside函数：,第二节 单调函数的结构,

5、如果 都是非负数，则不难验证 是单调增加的。一般情况下，可令 ， 则 ，于是,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,都是单调增加的跳跃函数，且,是 上的跳跃函数，若 ， 则 (i) 是 的不连续点集。 (ii) 每个 都是 的第一类不连续点，且 在 点的左方跳跃度为 ，右方跳跃度为 。,第二节 单调函数的结构,引理1 设,则 在 x 点连续，且,证明：首先证明，只要 x 不等于 ，则 在 x 点连续，事实上，当 时，结论是显然的。现设 ，令,第二节 单调函数的结构,由于级数 收敛，故 ， 所以 在 上一致收敛到 ，从而对任意 ，存在 使得 时，有,第二节 单调函数的结构,若 ，则由 在 x 点的连续性知存在 ，当 时，有 ， 进一步 。 由 的任意性知 在 x 点连续。,第二节 单调函数的结构,下设 ，令 则 在 点连续，但 在 点显然不连续，所以 也是 的间断点，,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,而且，由于 在 处的左、右极限都存在，且左、右方跳跃度分别为 ， ，因此 在 点的左、右极限也存在，且左、右方跳跃度也分别为 与 ，证毕。,五单调函数的结构 问题5

6、：利用上面的跳跃函数能否抹去给 定单调函数的间断点使其连续？ 问题6：对于给定的单调递增函数，其对 应的跳跃函数也是单调递增的， 这两个函数的差是否仍是单调递 增的？,第二节 单调函数的结构,定理3 设 f 是 上的单调增加函数， 是 f 的不连续点全体，令 则 是 上的单调增加函数，且 是 上的单调增加连续函数。,第二节 单调函数的结构,证明：记 ， 则由 f 的单调性知 均非负。由定理3知 。于是 是 上的单调增加函数，且其间断点全体为 ，在间断点 处的左、右方跳跃度分别为 。,第二节 单调函数的结构,显然， 在 处连 续，而当 时， 在 处的左方 跳跃度为 ， 同理右方跳跃度也为0。这说明 在 处也是连续的，即 h 是 上的连续函数。,第二节 单调函数的结构,往证 h 是单调增加的。设 ，则当 时， 当 时， 所以,第二节 单调函数的结构,第二节 单调函数的结构,这说明当 x 是 f 的间断点时， 是 f在 上不连续点处的跳跃度总和，若 是 f 的间断点，则 为 f 在 上的不连续点处的跳跃度总和加上在 处的左方跳跃度。进而当 ，且 时， 不超过 f 在 上不连续点处的跳跃度总和。,故由定理1得 ， 即 。 换言之，h 是 上的单调增加函数。证毕。,第二节 单调函数的结构,

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