土木工程力学教学课件作者少学时王长连课件第8章

1、土木工程力学（少学时）,结构位移的概念,静定结构在荷载作用下的位移计算,图乘法,静定结构支座移动时的位移计算,目录,梁的刚度校核,01,结构位移的概念,第8章 静定结构的位移计算与刚度校核,第 1 节,第 1 节 结构位移的概念,一、位移的概念,变形：指是物体在力的作用下发生形状和位置的改变。因而结构上的任点在空间位置也将发生变化。 结构的位移：结构各点位置的改变就称为结构的位移。 影响结构产生位移的因素：荷载、支座移动、温度改变、制造误差等。 结构的位移可以用线位移和角位移来度量。工程结构的线位移是指截面形心所移动的距离，角位移是指截面转动的角度。,第 1 节 结构位移的概念,二、位移计算的目的,01,02,验算结构的刚度,验算结构的刚度，即验算结构的位移是否超过允许的极限值，以保证结构在使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构中，梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至1/200，否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。,为分析超静定结构打下基础,由于超静定结构的未知力数目超过平衡方程，因而在其反力和内力的计算中，不仅要考虑静力平衡条件，而且还必须考虑位移的连续条件，补充变形协调方程。因

2、此，位移计算是分析超静定结构的基础。,03,施工方面的需要,在结构的制作、架设与养护等过程中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施工措施。,第 1 节 结构位移的概念,如图 所示的屋架，在屋盖的自重作用下，下弦各点将产生虚线所示的竖向位移，其中结点C 的竖向位移为最大。为了减少屋架在使用阶段下弦各结点的竖向位移，制作时通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度短些，以使屋架拼装后，结点C 位于C的位置（图）。这样在屋盖系统施工完毕后，屋架的下弦各杆能接近于原设计的水平位置，这种做法称为桁架起拱。欲知道点C 的竖向位移及各下弦杆的实际下料长度，就必须研究屋架的变形和各点位移间的关系。,02,静定结构在荷载作用下的位移计算,第8章 静定结构的位移计算与刚度校核,第 2 节,第 2 节 静定结构在荷载作用下的位移计算,1. 单位荷载法 单位荷载法，系指要求哪个截面哪个方向的位移，就在那个截面那个方向加一个同性的单位力（即要求线位移就在那个方向加一虚设的单位荷 F ，要求角位移就在那个方向加一虚设单位力偶 M ），而求相应位移的一种方法。 外力虚功内力虚功； 外力虚功虚设的单位力

3、实际结构在实际荷载作用下产生的实际位移； 内力虚功虚设单位力在实际结构上产生的内力实际力在实际结构上产生的位移。,第 2 节 静定结构在荷载作用下的位移计算,因为上述计算位移公式是加虚拟单位荷载得到的，故称为单位荷载法。,第 2 节 静定结构在荷载作用下的位移计算,2. 梁、刚架、桁架的位移计算公式 结构的位移包括三个方面的影响： 轴向位移、弯曲位移和剪力位移的影响。在具体位移计算中，对于以弯曲变形为主的结构，如梁、刚架，由轴力和剪力产生的位移，只占弯矩产生位移的以下，一般都会舍去。若不计轴力和剪力的影响，则 式对于平面桁架，因为每根杆只产生轴力，且每根杆的轴力 都是常量，所以 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影响，对两种杆件分别计算后相加即可。其位移计算公式为,梁、刚架的位移公式,桁架位移计算公式,组合结构位移计算公式,第 2 节 静定结构在荷载作用下的位移计算,3. 虚单位荷载的设置 该式不仅可用于计算结构的线位移，也可以用来计算结构任何性质的位移（例如角位移和相对位移等），只是要求所设虚单位荷载必须与所求的位移相对应，具体说明如下： （1）若计算的位移是结构

4、上某一点沿某一方向的线位移，则应在该点沿该方向施加一个单位集中力（ 图）。 （2）若计算的位移是结构上某一截面的角位移，则应在该截面上施加一个单位集中力偶（图）。 （3）若计算的是桁架中某一杆件的角位移，则应在该杆件的两端施加一对与杆轴垂直的反向平行集中力使其构成一个单位力偶，每个集中力的大小等于杆长的倒数（图）。,例 8- 1,例 求图 所示简支梁的中点 C 的竖向位移CV。已知梁的弯曲刚度 EI 为常数。,例 8- 2,例 求图所示刚架上点 C 的水平位移 C 和截面 C 的转角C 。已知各杆的弯曲刚度 EI 为常数。,例 8- 3,例 求图所示桁架结点C 的竖向位移CV。已知各杆的弹性模量均为E = 2.1105 MPa，截面面积 A 1200 mm 。,例 8- 4,例 组合结构如图所示。其中 CD、BD 为链杆，其拉压刚度为EA； AC 为梁式杆，其弯曲刚度为EI。在 D 点有集中荷载 F 作用。求 D 点的竖向位移DV。,03,图 乘 法,第8章 静定结构的位移计算与刚度校核,第 3 节,第 3 节 图乘法,一、图乘法适用条件及图乘公式,图乘法： 当用单位荷载法求梁或刚架的

5、位移时，需要计算积分 其计算过程往往比较繁杂。在满足一定条件的情况下，可以绘出 两个弯矩函数的图形，用弯矩图互乘的方法代替积分运算，使计算得到简化，这种计算方法称为图乘法。 图乘适用条件 （）杆段的EI 为常数。 （）杆段的轴线为直线。 （）各杆段的M 图和M 图中至少有一个为直线图形。 对于等截面直杆，前两个条件自然满足。至于第三个条件，虽然在均布荷载的作用下 图的形状是曲线形状，但 M 图却总是由直线段组成，只要分段考虑也可满足。于是，对于由等截面直杆所构成的梁和刚架的位移计算，都可以应用图乘法。,第 3 节 图乘法,图乘公式 如图所示为直杆 AB 的两个弯矩图，其中 图为一直线，M 图为任意形状。若该杆的弯曲刚度 EI 为一常数，根据积分性质则有,第 3 节 图乘法,图乘法计算结构的位移时应注意的事项 （）在图乘前要先对图形进行分段处理，保证 图和M 图中至少有一个是直线图形。 （）面积A 与竖标yC 分别取自两个弯矩图，yC 必须从直线图形上取得。若 图和M 图均为直线图形，也可用 图的面积乘其形心所对应的M 图的纵坐标来计算。 （）乘积AyC的正负号规定为： 当面积A 与竖标

6、yC 在杆的同侧时，乘积AyC 取正号；当A与yC 在杆的异侧时，AyC 取负号。简言之，A、yC 同侧为正、异侧为负。 （）对于由多根等截面直杆组成的结构，只要将每段杆图乘的结果相加即可，故图乘法的计算公式为,第 3 节 图乘法,二、图乘计算中的几个具体问题,（一） 常见图形面积及形心位置 在应用图乘法时，需要计算图形的面积 A 及该图形形心C 的位置。现将几种常见图形的面积及其形心位置示于下图中，以备查用。在应用抛物线图形的公式时，必须注意抛物线在顶点处的切线必须与基线平行，即抛物线为标准抛物线。,第 3 节 图乘法,（二） 图乘法应用技巧 1. 复杂图形分解为简单图形 对于一些面积和形心位置不易确定的图形，可采用图形分解的方法，将复杂图形分解为几个简单图形，以方便计算。,第 3 节 图乘法,（）若两个图形都是直线，但都含有不同符号的两部分，如下图所示，可将其中一个图形分解为ABD 和ABC 两个三角形，分别与另一个图形图乘并求和，即 （）若M 图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的，如图 所示，则可把它分解为一个梯形（图）和一个抛物线形（图）两部分，再将上述两图形分别与M 图相图乘

7、并求和。,第 3 节 图乘法,2. 分段图乘 如果杆件（或杆段）的两个弯矩图的图形都不是直线图形，其中一个（或两个）图形为折线形，则应分段图乘（图、）。另外，即使图形是直线形，但杆件为阶梯杆，各段杆的弯曲刚度EI 不是常数，也应分段图乘（图）。,例 8- 5,例 求图所示简支梁的中点 C 的竖向位移C和 B 端截面的转角B 。已知梁的弯曲刚度 EI 为常数。,例 8- 6,例 求图所示外伸梁上点 C 的竖向位移CV 。已知梁的刚度EI 为常数。,例 8 - 7,例 求图所示刚架的C 点的水平位移CH 。已知EI 常数。,例 8 - 8,例 试用图乘法，求图所示刚架A、B截面的竖向相对线位移。已知各杆EI为常数。,04,静定结构支座移动时的位移计算,第8章 静定结构的位移计算与刚度校核,第 4 节,第 4 节 静定结构支座移动时的位移计算,对于静定结构，支座移动并不引起内力，因而杆件不会发生变形。此时，结构产生的位移为刚体位移。根据虚功原理可推导出静定结构支座移动时的位移计算公式 式中 C实际位移状态中的支座位移， 为虚拟单位力状态对应的支座反力。 为反力虚功，当反力 与实际支座位移C

8、方向一致时其乘积取正，两者方向相反时为负。计算结果K 为正时，说明所求位移与所设单位力的方向一致，负时与所设单位力的方向相反。,例 8 - 9,例 如图所示结构，若 A 端发生图中所示的移动和转动，求结构上点 B 的竖向位移BV 和水平位移B 。,例 8 - 10,例 如图所示桁架，施工时 C 点需预置起拱度6 cm。试问四根下弦杆在制造时应做长多少？,05,梁的刚度校核,第8章 静定结构的位移计算与刚度校核,第 5 节,第 5 节 梁的刚度校核,例 8 - 11,例 如图所示简支梁，已知截面为 I32a 工字钢，在梁中点作用力 F 20 kN， 210 GPa，梁长 l m，梁的相对容许挠度 试进行刚度校核。,思 考 题, 何谓结构的位移？位移分哪几种？为什么要计算结构的位移？ 简述变形体的虚功原理。 何谓单位荷载法？试问单位荷载怎样添加？ 试写出用积分法计算梁、刚架和桁架的位移公式，并说明每个符号的意义。 试写出用图乘法，求梁、刚架的位移计算公式，并说明每个符号的意义。 运用图乘法计算梁、刚架位移的条件是什么？注意事项有哪些？ 应用图乘法为什么要分段？什么情况下分段？什么情况下不分段？ 应用图乘法图剩时正负号是如何确定的？,思考题,思 考 题, 如图所示图乘是否正确？如不正确请改正之。,思考题,

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