报童模型

1、关于报童卖报的问题摘要报童模型在1956年首次被提出来以后，就成为学术界的关注焦点，有着大量的学者或经济领域的人士对它进行研究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影响，人们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很多不同的计算方法和理论方法来使这些非量化的因素最大化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是又不是完全能够明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。报童模型中关于有限理性涉及到的问题与方法到如今已将发展到很多方面，在随机因素方面首先就是不确定环境下的随机需求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时候，人们尽量通过具体的推算方法来做出最优化决策，虽然不是完全理性决策，但是确实使利润接近最大化的有限理性决策。本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最大。本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论。尽管报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的，但是确定

2、最佳订购量的条件是相同的。关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散引言在报童模型中，有限理性决策主要面对的随机性因素是需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最大化期望收益或最小化期望损失。本文首先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限理性问题上进行研究的部分文献成果。再得出有报童模型有限理性的发展。一、问题重述报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,自然地假设abc.也就是说,报童售出一份报纸赚a-b,退回一份赔b-c,。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，使得收入最大，那么报童每天要购进多少份报纸？二、模型分析如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。因此，存在一个最优的购进量，使得收益最大。故应当根据需求来确定购进量。然而，每天的需求是随机的，进而每天的收入也是随机的。因此，优化问题的目标函数应是长期日平均收入，等于每天收入的期望。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，在他的销售范

3、围内每天报纸的需求量为r份的概率是： (=0,1,2,) 有了 和 ，就可以建立关于购进量的优化模型。 三、模型假设和符号说明 （1）假设报纸每天的订购价格和出售价格不变；（2）假设报纸的需求量不受天气等其它自然环境的影响； (3）假设报童每天只能一次性从报社购进报纸；（4） 当天的报纸卖不出去，到第二天就没有人再买，每份的报纸在当天什么时候卖出去是无关紧要的；（5） 假设该报童购进报纸份数可以不受限制，以达到最大利润为目的，报童除了从报社订购报纸所需费用以外，其他费用一概不计； (6)“最大利润”理解为报童平均每天利润达到最大；（7） 符号说明:b -为每份报纸的订购价；a -为每份报纸的零售价；c -为每份报纸的退回价；r -市场上每天报纸的需求量,且其分布律为f(r) (r=0,1,2).四、模型的建立设每天购进量为n份,因为需求量r是随机的,所以r可以小于n,等于n,或大于n。所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。这种单周期购入售出（

4、报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时装），并且超出该购入售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存贮论中统称为卖报童问题。这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的经济订货批量。 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n), 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c。(1)如果这天需求量rn,则他售出r份,退回n-r份. 所以报童这天所得利益为(a-b)r，损失额为(b-c)(n-r);(2) 如果这天需求量rn，则所进购报纸全部售出,即售出n份，所以报童这天所得利益为(a-b)r。即利益为(a-b)n。又需求量 r 的概率为 f (r ) ，于是得到：问题归结为在已知时,求n使G(n)最大,即所得n就为报童最优的订报份数.五、模型的求解 通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，所以可以将 r 视为连续变量,便于分析和计算.此时概率f (r ) 转化为概率密度函数p (r ), 则上式变成:对 G (n) 求倒数计算得到: 令，得到： 使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足上式.因为,所以上式可表示为: 根据需求量的概率密度函数p(r)的图形可以确定购进量n.在下面的图

5、中用p1,p2别分表示曲线p(r)下的两部分面积,则因为当购进n份报纸时是需求量不超过n的概率,即卖不完的概率;是需求量r超过n的概率,即卖完的概率。所以从上式可以看出,购进的份数n是卖不完与卖完的概率之比,恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比. 显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的报纸份数就应该越大1、若每份报纸的购进价为 0.75 元，售出价为 1 元，退回价为 0.6 元，需求量服从均 值 500 份， 均方差 50 份的正态分布， 报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高， 最高收入是多少？由题设得 a = 1, b = 0.75, c = 0.6 ， E (r ) = 500, （r）=50，不妨设报纸的需求量服从正态分布。正态分布的密度函数为：因为解得：n516=117即报童获得最大收入的进报量为 516 份，最大收入为 117 元.2、假设已经得到 159 天报纸需求量的情况如下表：表 159 天报纸需求量的分布情况表中需求量在 100-119 的由 3 天，其余类推。根据这些数据。并假定 a=1，b=0.8，c=0.

6、75，为报童提供最佳决策。求解过程：对上表中需求量取均值得到其分布如下：求出此样本的均值及方差、标准差：E(r)=3/159*110+9/159*130+13/159*150+22/159*170+32/159*190+35/159*210+20/159*230+15/159*250+8/159*270+2/159*290=199.9320所以：a=1,b =0.8,c =0.75 ， E(r ) = 199.4340,（r）= 38.70955令得到：n=232故G (n)= 37.2所以报童获得最大收入的进报量为 232 份，最大收入为 37.2 元六、模型的结果分析、优化和推广当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。这个问题属于随机存储模型，由于需求量是随机变量，在知道其概率分布的前提下，构造利润函数（它是随机变量的函数）也是随机变量，根据期望利润最大，确定最佳定货量或 最佳存储量。这类问题又成为报童的诀窍或者随机存储策略。在科学的管理方法和手段在管理实践中运用越来越多的今天，管理者同样需要考虑，怎样改进粗放的管理模式，才能提高企业的管理水

7、平，从而提高企业的效益。在管理实践中，我们会发现，与报童问题类似的问题非常多，这样我们就可以将报童问题的研究方法运用到实践中，通过科学的调查、计算，把过去经验的管理方法，上升到科学的管理方法。 参考文献：1.姜启源、谢金星 数学模型（第三版） 高等教育出版社 2003.82. 谢云荪等 数学实验M 科学出版社 1999.83 周义仓等 数学建模实验M 西安交通大学出版社 1999.10.附件:下面用 matlab 求解：1、（1）a=1;b=0.75;c=0.6;m=500;s=50;n=norminv(a-b)/(a-c),m,s)运行matlab得到结果： n = 515.9320（2）syms rpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(r-m)2/(2*s2);Gn=int(a-b)*x-(b-c)*(n-r)*pr,0,n)+int(a-b)*n*pr,n,inf);double(Gn)运行程序:ans = 117.41612、输入程序：r=110 130 150 170 190 210 230 250 270 290;p=3/159 9/159 13/159 22/159 32/159 35/159 20/159 15/159 8/159 2/159;Er=sum(r.*p)得出结果：Er = 199.4340输入： Dr=sum(r.2.*p)-Er.2 得到结果：Dr =1.4984e+003输入： s=sqrt(Dr) 得到：s = 38.70955此时a=1,b =0.8,c =0.75 ，E(r ) = 199.4340,（r）= 38.70955求解如下：输入：a=1;b=0.8;c=0.75;m=199.4340;s=38.70955;n=norminv(a-b)/(a-c),m,s)运行得出结果：n = 232.0128syms xpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)2/(2*s2); Gn=int(a-b)*x-(b-c)*(n-x)*pr,0,n)+int(a-b)*n*pr,n,inf); double(Gn)运行结果：ans = 37.1775

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