函数的周期性和对称性(解析版)——王彦文
9页1、专题二:函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中,研究一个函数,首看定义域、值域,然后就要研究对称性(中心对称、轴对称),并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性,以及它们之间的联系。因此,我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】一、函数的周期性求法使用情景:几类特殊函数类型解题模板:第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形; 第二步 准确求出函数的周期性; 第三步 运用函数的周期性求解实际问题.例1 (1) 函数对于任意实数满足条件,若,则( )A B C D【答案】D考点:函数的周期性(2) 已知在R上是奇函数,且满足,当时,则( )A、-12 B、-16 C、-20 D、0【答案】A试题分析:因为,所以,的周期为,因此 ,故选A 考点:1、函数的奇偶性;2、函数的解析式及单调性【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在上的函数满足,则( )A B C D【答案】B【变式演练
2、2】定义在上的函数满足时,则的值为( )A.-2 B.0 C.2 D.8【答案】A试题分析: 由已知可得的周期,故选A.考点:函数的周期性.【变式演练3】定义在上的偶函数满足,且在上为增函数,则下列不等式成立的是( )A B C D【答案】B试题分析:因为定义在上的偶函数在上为增函数,所以在上单调递减,又,所以,又,所以考点:1偶函数的性质;2函数的周期性二、函数的对称性问题使用情景:几类特殊函数类型解题模板:记住常见的几种对称结论:第一类 函数满足时,函数的图像关于直线对称; 第二类 函数满足时,函数的图像关于点对称; 第三类 函数的图像与函数的图像关于直线对称.例2 (从对称性思考)已知定义在上的函数满足,则( )A B C D【答案】B【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称,,则函数关于轴对称,常用结论:若在上的函数满足,则函数以为周期.本题中,利用此结论可得周期为,进而,需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在上的函数的图象关于点对称, 且满足,又,则( )A B C D【答案】D试题分析:由得,又,的图象关于点对称,所以,由可得,故选D.考点:函数的周期性;函数的
3、对称性例4 已知函数为自然对数的底数)与的图像上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( )A B C D【答案】B考点:利用导数研究函数的极值;方程的有解问题.【变式演练4】定义在上的奇函数,对于,都有,且满足,则实数的取值范围是 .【答案】或试题分析:由,因此函数图象关于直线对称,又是奇函数,因此它也是周期函数,且,即,解得.考点:函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数满足,若函数与图像的交点为则( )(A)0 (B) (C) (D)【答案】C试题分析:由于,不妨设,与函数的交点为,故,故选C.考点: 函数图象的性质【名师点睛】如果函数,满足,恒有,那么函数的图象有对称轴;如果函数,满足,恒有,那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x0时, ;当 时,;当 时, .则f(6)= ( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)2【答案】D考点:1.函数的奇偶性与周期性;2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性,是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题,关键在
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