费马大定理—数学史上著名的定理

1、数学史上著名的定数学史上著名的定理理 费马大定理费马大定理 Fermat s Last Theorem 中文名：费马大定理 外文名： 中文名：费马大定理 外文名： z2 别称：费马最后的定理 表达式：(时， 无正整数解) 别称：费马最后的定理 表达式：(时， 无正整数解) nnn xyn 1637 提出者：皮耶 德 费马(法国) 提出时间：年左右 提出者：皮耶 德 费马(法国) 提出时间：年左右 1995 证明者：安德鲁 怀尔斯(英国) 证明时间：年彻底证明 证明者：安德鲁 怀尔斯(英国) 证明时间：年彻底证明 猜想提猜想提出出 () 1637 Diophatus 118 大约年左右，法国学者皮耶 德 费马在 阅读丢番图算术 拉丁文译本时， 曾 在第卷第 命题旁写道： “将一个立方数分成两 个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之 和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同 次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发 现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小， 写不下。 ” 毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献 良多，由此激发了许多数学家对此猜想的兴趣。数学家 们的有关工

2、作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 皮耶 德 费马皮耶 德 费马 猜想内猜想内容容 2z z nnn nx y xy 当整数时，关于 ， ，的方程 没有正整数解。 当整数时，关于 ， ，的方程 没有正整数解。 历史研历史研究究 接力证明接力证明 3 3 n a 1753 1770 年瑞士著名数学家欧拉，在给哥德巴赫的信中说，他 证明了时的费马猜想，年其证明发表在 代数指南 一书中，方法是 “无限下降法” 和形如数系的唯一因子 分解定理，这一方法也被后人多次引用。 n1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为 是奇素数 的情况，认为费马猜想应该成立，并称为费马大定理(以区别 费马关于同余的小定理)，并为证明者设立大奖和奖章， 费马大定理之谜从此进一步风靡全球。 4n 费马自己证明了的情形。 历史研历史研究究 接力证明接力证明 21 5 n nx y zn n 1825 十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当 和 都是素数时费马大定理的反例， ，至少有一个是 的 整倍数。在此基础上，年德国数学家狄利克雷和法国数学 家勒让德分别独立证明费马大定理在时成立，用的是欧拉 所用方法的

3、延伸，但避开了唯一因子分解定理。 77 11 n n 1839 1847 年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进， 并证明了的情形，他的证明使用了跟本身结合得很 紧密的巧妙工具，只是难以推广到的情形；于是， 他又在年提出了 “分圆整数” 法来证明，但没有 成功。 历史研历史研究究 接力证明接力证明 100n 1844年，库默尔提出了 “理想数” 概念，他证明了：对于 所有小于的素指数 ，费马大定理成立，此一研究告一阶 段。但对一般情况，在猜想提出的头两百年内数学家们仍对 费马大定理一筹莫展。 1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家 拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称 证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔 则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯 入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了 德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数 系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅 和柯西的证明都是错的。 历史研历史研究究 接力证明接力证明 7 100375967 n 1850大约在年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到 唯一

4、因子分解是否成立是欧拉、 热尔曼创立的企图证明费马大 定理的方法关键，于是他创立了一种 “理想数环” 理论，据说 这一思想也受其老师高斯启发， 高斯表面上声称对费马大定理 不感兴趣，实际上对久思不解。学生库默尔运用独创 “理 想素数” 理论，一下子证明了以内除、以外的所有 奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。 库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前， 直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了 一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威 声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛 传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家 的分析证明还是错的。 历史研历史研究究 悬赏求悬赏求证证 100000 1908 2007913 1908 年，格丁根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖：凡 在年 月日前解决费马大定理者将获得马克奖励。 提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困 决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅 证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明，设定自杀 时间过了，他也放不下问题的证明，数学让他重生并后来 成为大富豪，年这位富豪死

5、时，遗嘱将其一半遗产 捐赠设奖，以谢其救命之恩。 从此世界毎年都会有成千上万人宣称证明了费马 大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构， 不得不预写证明否定书。 历史研历史研究究 莫德尔猜想莫德尔猜想 2 () Q()0 iiii f x y xyf xy 1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫 做莫德尔猜想。按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、 有理系数的二元多项式，当它的 “亏格” 大于或等于 时，最 多只有有限个解。记这个多项式为， ，猜想便表示：最 多存在有限对数偶，使得，。后来，人们 把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象 代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。 (1)(2) 1 2 4 nn nnn nn xy n xyz 而费马多项式没有奇点，其亏格为。 当时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如 果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 本质上最多有有限多个整数解。 历史研历史研究究 莫德尔猜想莫德尔猜想 5001000 10000 25000400 80 二战后随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。 借助计算机的帮助，数学

6、家们对以内，然后在以内， 再是以内的值证明了费马大定理，到年代，这个范围 提高到，然后是万以内。 1983 1986 年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而 翻开了费马大定理研究的新篇章。法尔廷斯也因此获得 年菲尔兹奖。 历史研历史研究究 谷山丰猜想谷山丰猜想 1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类 数学家们了解更多的曲线 模曲线之间存在着某种联系； 谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓 “谷山志村猜想” ，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆 曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白， 但它又使 “费马大定理” 的证明向前迈进了一步。 ()1EL E ss E 1958 BSD 年英国数学家贝赫和斯维纳通 戴尔构造了椭圆 曲线的， 函数，他们对该函数在处的零点与 椭圆曲线上的有理点关系给出了一个简称猜想。 历史研历史研究究 谷山丰猜想谷山丰猜想 1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次 数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可 构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化， 也就是说谷山志村 猜想将不成立。 但弗雷构造的所谓

7、 “弗雷曲线” 不可模形式化也 说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为 “弗雷命题” ， 弗雷命题如得证，费马大定理就与谷山志村猜想等价。 历史研历史研究究 谷山丰猜想谷山丰猜想 1986年美国加州大学伯克利分的肯 里贝特教授，为证明 弗雷命题已奋斗了十八个月， 曾亲耳听到弗雷当年演讲的里贝 特深信自己能证明弗雷命题，但久攻未克，这年夏天哈佛大学 教授巴里 梅祖尔来伯克利访问并参加国际数学家大会，有一 次里贝特与他起喝咖啡，便研讨起弗雷命题，梅祖尔的一个提 醒让里贝特恍然大悟，里贝特随即完成了弗雷命题的证明， 并 当即在这届国际数学家大会内外传开。世界数学界为之兴奋。 历史研历史研究究 证明完成证明完成 1986 1991 年，英国数学家安德鲁 怀尔斯听到肯 里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到 了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域， 他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的 基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与 模形式通过伽罗瓦表示方法 “排队” 。接下来要将 两种 “排队” 序列对应配对，这一步他两年无进展。 此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到年 他的博

8、士导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联 数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法 使其工作有重大进展。 安德鲁 怀尔斯安德鲁 怀尔斯 历史研历史研究究 证明完成证明完成 19936 199362123 L年 月在剑桥牛顿学院要举行一个名为 “ 函数和算 术” 的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨， 于是在年 月日到日怀尔斯被特许在该学术会上以 “模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示” 为题，分三次作了演讲。 听完演讲人们意识到谷山志村猜想已经证明。由此把法 尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯 里贝特证明的弗雷命题和怀 尔斯证明的谷山志村猜想联合起来就可说明费马大定理 成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔 斯最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。 1993623年 月日从剑桥牛顿学院传出费马大定理 被证明之后，世界媒体铺天盖地般报道了该喜讯。 历史研历史研究究 证明完成证明完成 1993823 199312 一阵热烈兴奋之后，开始了严格的审查。审查人六位， 每人负责一章，其中第三章审查者凯兹在年 月日发 现了证明中的一个小缺陷。开始怀尔斯认为容易补救，后来 逐渐认识到采

9、用科利瓦金弗莱切方法仍有障碍。经过一个 秋天，在各种传闻和情绪的压力下，怀尔斯于年月公 开承认证明有问题，但表示很快会补正。一时间怀尔斯的证 明被认为是历史上拉梅、柯西、勒贝格、里贝特(里贝特也 曾称证明了谷山志村猜想)错 误证明的又一例子。在这 困难的时刻，怀尔斯在普林斯顿的一位同事萨尔纳克 建议他应当找一个他信赖的、而且熟悉科利瓦金 弗莱切方法的专家经常一起讨论技术细节， 鼓励他用这种方式再试下去。 历史研历史研究究 证明完成证明完成 19941 9 91994919 经过认真考虑以后，年 月怀尔斯邀请在剑桥工作的、他 以前的学生、文章的审稿人之一理查德 泰勒到普林斯顿帮他 完善科利瓦金弗莱切方法解决问题，可是到了 月，依然没 有结果，他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔 斯决定在 月底作最后一次检查。年 月日， 一个星期一 的早晨，怀尔斯准备再一次寻找失败的原因时， 突然冒出了一 个想法：将(放弃的)岩泽理论与科利瓦金弗莱切方法结 合起来！问题解法就是这样，怀尔斯绝处逢生，修补了 漏洞。证明最后归结为一个纯代数问题：关于赫克环 的完全交性质。这最后关口是他与泰勒一起共同 完成的。 历史研历史研究究 证明完成证明完成 0 1994102511411 13 19955 Annals of Mathem 年月日点 分秒，怀尔斯通过他以前的学生、 美国 俄亥俄州立大学教授卡尔 鲁宾向世界数学界发了费马大定理 的完整证明邮件，包括一篇长文 模椭圆曲线和费马大定理 ， 作者安德鲁 怀尔斯； 另一篇短文 某些赫克代数的环论性质 ， 作者理查德 泰勒与安德鲁 怀尔斯。这两篇论文总共有页， 是历史上核查得最彻底的数学稿件，它们发表在年 月的 数学年刊 (atics142)第卷上至此费马 大 。 定理得证。 证明者经历简证明者经历简介介 1953安德鲁 怀尔斯年出生在英国，父亲是一位工程学 教授。 10安德鲁 怀尔斯岁时，就被费马大定理吸引住了，并 从此选择了数学作为终 身职业。 1974Merton年，毕业于牛津大学默顿学院(学院)，获 数 学学士

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