北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题1-6)

1、线性代数习题及答案（北京邮电大学出版社戴斌祥主）编习题一（A类）1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)321)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意.所以j=3、k=6.3. 写出4阶行列式中含有因子的项。解：D4=由题意有：故D4中含的项为：即为：4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？

2、（1）；解：因为，所以该项带正号。（2）解：因为，所以该项带正号。5. 用定义计算下列各行列式.(1)； (2). （3）【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.（3）由题意知：所以6. 计算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 证明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故(4) 对D2n按第一行展开，得据此递推下去，可得(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：但由归纳假设从而有8. 计算下列n阶行列式.(1) (2) ；(3). (4).【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得(2) 按第二行展开(3) 行列式按第

3、一列展开后，得(4) . 即有 由 得 .9. 计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得将第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 计算阶行列式（其中）.【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11. 已知4阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D的值。解：D=，12. 用克拉默法则解方程组.（1） （2）(3) (4) 【解】（1）因为D=；D1=；D2=所以（2）因为D=D1=D2=D3=所以(3)方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解，为13. 满足什么条件时，线性方程组有唯一解？解：D= =要使方程组有唯一解，必须D，于是：解得：当不等于1，时，方程组有唯一解。14. 和为何值时，齐次方程组有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即故或时，方程组有非零解. 15. 求三次多项式，使得【解】根据题意，得这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于故得于是所求的多项式为（B类）1. 已知n阶行列式D的每一列元素之和均为零，则D= 。解： 令D=2.D3. 写出行列式D4=的展开式中包含和的项

4、。解：令D4=比较可得：只有当时，才能出现项，当时，为项，故中含项为：含项为：。4. 已知4阶行列式D4=，试求，其中为行列式D4的第4行第j列的元素的代数余子式。解：因为D4=所以5. 解方程解：因D=+故由D=0可得：因为=所以6. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax+by+c=0 (a,b不同时为0)按题设有则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题 二（A类）1. 1. 设A=，B=，（1） 计算3A-B，2A+3B；（2） 若X满足A+X=B，求X；（3） 若Y满足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求Y.解：（1）3A-B=-=。2A+3B=+=。（2）因A+X=B，则X=B-A，即X=-=。（3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）=。2. 计算下列矩阵的乘积.（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .3. 设，求(1);(2) ；(

5、3) 吗?【解】(1) (2) (3) 由于ABBA,故(A+B)(A-B)A2-B2.4. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若， 则； (2) 若， 则或；(3) 若， 则.【解】(1) 以三阶矩阵为例，取,但A0(2) 令,则A2=A,但A0且AE(3) 令则AX=AY,但XY.5. 计算：（1）；（2）（k为正整数）； （3）（k为正整数）.解：（1）=。（2）令Dk=（k为正整数），则当k=2时，D2=；设Dm=成立，则Dm+1=.故有：Dk=.(3) 令Dk=（k为正整数），则当k=2时，有：D2=；假设Dm=成立，则Dm+1=；故有=。6. 设，求|. 解：由已知条件，的伴随矩阵为又因为，所以有，且，即 于是有 .7.已知线性变换利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知从而由到的线性变换为8. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB,故也为对称阵.9.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A=A,B=B，若AB是对称阵，即(AB)=AB.则 AB=(

6、AB)=BA=BA,反之，因AB=BA,则(AB)=BA=BA=AB,所以，AB为对称阵.10. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1) B2是对称矩阵.(2) AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】因A=A,B= -B,故(B2)=BB= -B(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB= -BA-A(-B)=AB-BA;(AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB= -BA+A(-B)= -(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.11. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由=,得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.12. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.13.求下列矩阵的逆矩阵.(1) ； (2) ；(3)； (4)；【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;14. 利用逆矩阵，解线性方程组【解】因,而故15. 证明下列命题：(

7、1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA=E,则（A*）=(A*)-1.【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,从而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是A* (A-1) *=|A|A-1|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因AA=E，故A可逆且A-1=A.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A) *=(A*).16.已知线性变换求从变量到变量的线性变换.【解】已知且|A|=10,故A可逆，因而所以从变量到变量的线性变换为17.解下列矩阵方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A=;B=.由于故原方程的惟一解为同理(2) X=; (3) X=; (4) X=18. 设，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故19. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.(1)， 证明，；(2) 设， 证明，.【证明】(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设那么所以，对一切自然数k，都有而(2) 由(1)与A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又20. 设.其中， 求.【解】因可逆，且故由得21. 设阶方阵的伴随矩阵为，证明：(1) 若，则；(2) .【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若

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