【备考2014-志鸿优化2013版中考数学总复习-第16讲-直角三角形二次函数

1、第16讲直角三角形考标要求考查角度1.了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直角三角形2有两角_的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形自主测试1(2012广东广州)在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是()A B C D2(2012四川巴中)已知a，b，c是ABC的三边长，且满足关系式|ab|0，则ABC的形状为_3. (2012重庆)如图，在RtABC中，BAC90，点D在BC边上，且ABD是等边三角形若AB

2、2，求ABC的周长(结果保留根号)考点一、直角三角形的判定【例1】 如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D为边BC上的任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF的形状，并证明你的结论分析：连接AM，可得AMBM，然后证明BFMAEM，得到FMME，EMF90.解：MEF是等腰直角三角形连接AM，BAC90，AM是斜边BC的中线，MAMBMC，MABCABAC，BBAMMAE45.DFAB，DEAC，AFDAEDFAE90，四边形DFAE是矩形，FDEA又FBFD，FBEA，BFMAEM(SAS)，FMEM，BMFAME.AMFBMF90，EMFAMFAME90，MEF是等腰直角三角形方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得触类旁通1具备下列条件的ABC中，不能成为直角三角形的是()AABC BA90CCABC DAC90考点二、直角三角形的性质【例2】 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，

3、E在同一条直线上，连接DC(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DCBE.(1)解：图2中ABEACD证明如下：ABC与AED均为等腰直角三角形，ABAC，AEAD，BACEAD90.BACCAEEADCAE，即BAECAD又ABAC，AEAD，ABEACD(2)证明：由(1)ABEACD知ACDABE45.又ACB45，BCDACBACD90，DCBE.方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质考点三、勾股定理及其逆定理【例3】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长解：设CD长为x cm，由折叠得ACDAEDAEAC6 cm，AEDC90，DECDx cm.在RtABC中，AC6 cm，BC8 cm，AB10(cm)EBABAE1064(cm)，BD

4、BCCD(8x) cm，在RtDEB中，由勾股定理得DE2BE2DB2.x242(8x)2，解得x3.CD的长为3 cm.方法总结 1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形触类旁通2如图，在四边形ABCD中，A=90，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12，求四边形ABCD的面积考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】 如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DAAB于A，CBAB于B，已知DA8 km，CB6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？分析：因为DAAB于A，CBAB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解：设E站应建在距A站x km处，根据勾股定理有82x262(14x)2，解得x6.所以E站应建在距A站6 km处方法总结 勾股定理及

5、其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型通过解决数学问题，使实际问题得以解决触类旁通3有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长1(2012湖南邵阳)如图所示，在RtABC中，ACB90，B30，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段_2(2012湖南岳阳)如图，在RtABC中，B90，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB3，BC4，则BD_.3(2012湖南郴州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC6，BD8，则这个菱形的边长为_4(2012湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中BD90，ABBC15千米，CD3千米，请据此解答如下问题：图甲图乙(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据1.41，1.73，2.45)；(2)求ACD的余弦值1. 如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的

6、另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为()A3 cm B6 cmC3 cm D6 cm2在ABC中，三边长分别为a，b，c，且ac2b，cab，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形3一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是()A5 B25C5或25 D无法确定4. 如图，在RtABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则() AS1=S2BS1S2CS1S2D无法确定5直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是()A B C D6. 如图，在RtABC中，ACB=90，点D是斜边AB的中点，DEAC，垂足为E，若DE2，CD2，则BE的长为_7. 如图，已知等腰RtABC的直角边长为1，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的

7、图形的面积为_. 8. 如图，已知点D为等腰RtABC内一点，CADCBD15，E为AD延长线上的一点，且CECA(1)求证：DE平分BDC；(2)若点M在DE上，且DCDM，求证：MEBD参考答案【知识梳理】一、1.互余2.一半3.一半二、1.902.互余3一半4.平方和导学必备知识自主测试1A根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC9，BC12，根据勾股定理得：AB15.过点C作CDAB，交AB于点D，又SABCACBCABCD，CD，则点C到AB的距离是.2等腰直角三角形由题意得：c2a2b20，ab0，c2a2b2，ab，则ABC的形状为等腰直角三角形3解：ABD是等边三角形，B60.BAC90，C180906030，BC2AB4.在RtABC中，由勾股定理得：AC2，ABC的周长为ACBCAB24262.探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.解：在RtABD中，BD5，在BCD中，CD13，CB12，BD5，CB2BD2CD2.DBC90.S四边形ABCDSABDSDBCABADBCBD3412563036.触类旁通3.解：在RtABC中，AC8，BC6，由勾股定理得，AB10，扩充部分为RtACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：(1)如图1，当ABAD10时，可求得CDCB6，故ABD的周长为32 m.(2)如图2，当ABBD10时，可求得CD4，由勾股定理得AD4，故ABD的周长为(204) m.(3)如图3，当AB为底时，设ADBDx，则CDx6，由勾股定理得(x6)282x2，则x，故ABD的周长为 m.品鉴经典考题1答案不唯一，BDCD或BECE或ACCE或CEAE或ACAE或AEBE等由线段垂直平分线的概念，得BDCD；由线段垂直平分线的性质，得BECE；由ACE是等边三角形，得ACCEAE；由三角形中位线的性质，得AEBE，由上面结论，任选两条相等的线段即可2.设B点的对应点为B，连接DB，由勾股定理得AC5，又ABAB，所以BC532，设DBDBx，则DC4x，在RtDBC中，x222(4x)2，解得x.354解：(1)连接AC，在RtABC中，ABBC15千米，B90，AC15(千米)在RtACD中，AC

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