2011届高中数学专题：立体几何专题(教师版)

1、 立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等【例题解析】题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算例1（2010高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，

2、则的最大值为A B C 4D 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以，当且仅当时取等号点评：本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决例2 （2010高考山东卷）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是AB CD分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是，母线长是，球的半径是，故其表面积是，答案D点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则例3（江苏省苏州市2010届高三教学调研测试）已知一个正三棱锥的主视图如图所示，若， ，则此正三棱锥的全面积为_分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长解析：这个

3、正三棱锥的底面边长是、高是，故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是，故这个正三棱锥的侧棱长是，由此知道这个正三棱锥的侧面也是边长为的正三角形，故其全面积是，答案点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心题型2 空间点、线、面位置关系的判断例4（江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断解析：我们借助于长方体模型解决中过直线作平面，可以得到平面所成的二面角为直二面角，如图（1），故正确；的反例如图（2）；的反例如图（3）；中由可得，过作平面可得与交线平行，由于，故答案点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的例5（浙江省2010年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题）设是两条不同的直线，是

4、两个不同的平面，下列命题正确的是A若，则 B若则C若，则 D若则分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断解析：对于，结合则可推得答案C点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）例6(2010江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积分析：第一问就是找平行线，最明显的就是；第二问转化为线面垂直进行证明；第三问采用三棱锥的等积变换解决解析：（1）连结，如图，在中，、分别为，的中点，则平面（2）（3）平面，且， 即，=点评：这个题目也属于文科解答题的传统题型空间线面位置关系证明的基本思想是转化，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证明线线垂直，但问题不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的

5、直线归结到某个平面上，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又得借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形，可以通过“换顶点”实行等体积变换，这也是求点面距离的基本方法之一例7（广东省广州市2010届高三教学调研测试）在四棱锥中，平面，为的中点，（1）求四棱锥的体积；（2）若为的中点，求证平面；（3）求证平面分析：第一问只要求出底面积和高即可；第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决，也可以通过证明面面平行解决，即通过证明直线所在的一个平面和平面的平行解决解析：（1）在中，在中，则 （2），为的中点， 平面，平面， 为中点，为中点，则，平面（3）证法一：取中点，连则， 平面， 平面，平面 在中，而， 平面， 平面，平面 ，平面平面平面，平面 证法二：延长，设它们交于点，连，为的中点 为中点， 平面， 平面，平面 点评：新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有了诸多的变化一个方面增加了空间几何体的三视图、表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了三垂线定理

6、、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念与性质、球的性质与球面距离，删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直）题型4 空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型）例8（2010年福建省理科数学高考样卷）如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【解析】解法一：如图分别以所在的直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由已知得、 （1）取中点，则，又，由，与共线从而，平面， 平面，平面 （2），异面直线与所成角的余弦值为（3）假设满足条件的点存在，可设点（），平面的一个法向量为， 则 ，取易知平面的一个法向量，依题意知， 或，即，解得，在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为解法二：（1）同解法一知 ， ，、共面又平面，平面 （2）、（3）同解法一解法三：易知平面的一个法向量是又，由，而平面，平面（2）、（3）同解

7、法一点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种，一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线，二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直例9（浙江宁波市2010学年度第一学期期末理科第20题）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值； （3）求此几何体的体积的大小【解析】（1）取的中点是，连结，则，或其补角即为异面直线与所成的角在中，异面直线与所成的角的余弦值为（2）平面，过作交于，连结可得平面，从而,为二面角的平面角在中， ,二面角的的正弦值为（3），几何体的体积为方法二：（坐标法）（1）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则， ，异面直线与所成的角的余弦值为 （2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 从而,令，则, 二面角的的正弦值

8、为 （3），几何体的体积为 点评：本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法空间向量对解决三类角（异面直线角、线面角、面面角）的计算有一定的优势对理科考生来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外，不要忽视了传统的方法，有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量专题训练与高考预测文科以选择题、填空题和解答题前三题为主理科以选择题、填空题和解答题后三题为主一、选择题1如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点） （ ）A B C D 2某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是 （ ）A B CD 3已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）ABCD4一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A B C D5 一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）A B C D6 点在直径为的球面上，过作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的倍，则这三条弦长之和为最大值是 （ ）A B C D 7正方体中，的中点为，的中点为，异面直线 与 所成的角是（ ）A

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