参数方程的概念(教学设计)
6页1、曲线的参数方程(孙雷)教材 人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节授课教师 孙雷教学目标 1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程; 2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义; 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,形成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。教学重点 曲线参数方程的概念。教学难点曲线参数方程的探求。教学过程 (一)曲线的参数方程概念的引入 引例:当两个齿轮接触时,蓝色齿轮会带动红色齿轮转动,当两个齿轮没有接触时,蓝齿轮要带动红色齿轮转动,有一种方法是加入一个新的齿轮,使之与红蓝两个齿轮同时接触。(上述过程让学生感受中间变量的作用,为参数方程中的参变量的引出作铺垫。)思考1:若齿轮A、B、C的半径相等,他们转动时的角速度分别是x、y、t,方向忽略不计(1) 第一组图中,A与B角速度之间的关系是_;(2) 第二组图中,A与C角速度之间的关系是_; B与C角速度之间的关系是_;思考2:思考:若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2,他们转动时的角速度分别是x、y、t,方向忽略不计(1) 第一组图
2、中,它们角速度之间的关系是_;(2) 第二组图中,它们角速度之间的关系是_;引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题,并加以解决(1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣;2、通过引例明确学习参数方程的现实意义;3、通过对问题的解决,使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果,从而了解学习曲线的参数方程的必要性;4、通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径,为研究圆的参数方程作准备。) (二)曲线的参数方程例1、圆的参数方程的推导(1)一般的,设的圆心为原点,半径为,所在直线为轴,如图,以为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角速度作圆周运动,则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢?(其中与为常数,为变数) 结合图形,由任意角三角函数的定义可知: 为参数 (2)点的角速度为,运动所用的时间为,则角位移,那么方程组可以改写为何种形式? 结合匀速圆周运动的物理意义可得: 为参数 (在引例的基础上,把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力)(3)方程、是否是圆心在原点,半径为的圆方程?为什么?由上述推导过程可知:对于上的每一
3、个点都存在变数(或)的值,使,(或,)都成立。对于变数(或)的每一个允许值,由方程组所确定的点都在圆上; (1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发,可以说明以上由变数(或)建立起来的方程是圆的方程;)(4)若要表示一个完整的圆,则与的最小的取值范围是什么呢? , (5)圆的参数方程及参数的定义 我们把方程(或)叫做的参数方程,变数(或)叫做参数。(6)圆的参数方程的理解与认识()参数方程与是否表示同一曲线?为什么?()根据下列要求,分别写出圆心在原点、半径为的圆的部分圆弧的参数方程:在轴左侧的半圆(不包括轴上的点);在第四象限的圆弧。(通过具体问题的解决,加深对圆的参数方程的理解与认识,体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分;并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。)(7)曲线的参数方程的定义()一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数 ,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程。变数叫做参变量或参变数,简称参数。()相对于参数
4、方程来说,直接给出曲线上点的坐标、间关系的方程叫做曲线的普通方程。 (8)曲线的参数方程的理解与认识 ()参数方程的形式;(横、纵坐标、都是变量的函数,给出一个能唯一的求出对应的、 的值,因而得出唯一的对应点;但横、纵坐标、之间的关系并不一定是函数关系。)()参数的取值范围;(在表述曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围的不同,所表示的曲线也可能会有所不同。)()参数方程与普通方程的统一性;(普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量与之间的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化。)()参数的作用;(参数作为间接地建立横、纵坐标、之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用。)()参数的意义。(如果参数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数。)(三)巩固曲线的参数方程的概念例2.已知曲线C的参数方程是(t为参数)(1) 判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置
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