同济大学-高等数学(上)课件d8-1基本概念
33页1、推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第八章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的基本概念,一、 区域,1. 邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明:若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 区域,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点;,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E 的边界点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,
2、边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,(2) 聚点,若对任意给定的 ,点P 的去心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .,E 的边界点 ),(3) 开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点,则称 E 为开集;, 若点集 E E , 则称 E 为闭集;, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,。 。, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,例如,在平面上,开区域,闭区域,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 整个平面, 点集,是开集,,是最大的开域 ,也是最大的闭域;,但非区域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,3. n 维空间,
3、n 元有序数组,的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标 .,记作,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O .,的距离记作,中点 a 的 邻域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,规定为,与零元 O 的距离为,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,图形为中心在原点的上半球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,三、多元函数的极限,定义2. 设 n 元函数,点 ,则称 A 为函数
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