【数学】1.3.3《已知三角函数值求角》课件(新人教b版必修4)
17页1、1.3.3 已知三角函数值求角,我们知道,任意给定一个角,只要这个角的三角函数值存在,就可以求出这个三角函数值;反过来,已知一个三角函数值,也可以求出与它对应的角。,1.已知正弦值,求角,例1、已知 sinx= ,,(1)若 ,求x; (2)若 ,求x; (3)若 xR,求x的取值集合。,(1) 若 ,求x;,解:因为 ,所以x是第一或第二象限的角,由正弦函数的图象知道sin = 或sin = . 得在 时,x=,(2) 若 ,求x;,解得x1= ,x2= .,(3)若 xR,求x的取值集合。,比较(1),(2)得x的取值集合是,由例1可知,在函数y=sinx的非单调区间上,对于一个已知的正弦值,有多个角和它对应,如在0,2上,有两个角的正弦值都是 ,而在R上,有无穷多个角的正弦值都是 .,但在一个y=sinx的单调区间上,只有一个角和已知的正弦值对应,比如在区间 上,只有 的正弦值等于,一般地,对于正弦函数y=sinx,如果已知函数值y (y1, 1),那么在 上有唯一的x值和它对应,记为x=arcsiny (其中1y1, ),即arcsiny (|y|1)表示 上正弦等于y的那个角
2、,在区间 上,,如果sinx= ,则x=arcsin =,如果sinx= 0 ,则x=arcsin 0 =0,如果sinx=0.3485, 则 x=arcsin0.3485.,如果sinx= ,则x=arcsin( )=,例2.(1)已知cosx=0.5,x0, 2),求x; (2)已知cosx= ,求x的取值集合;,解:(1)由于cosx=0.5,所以x是第一或第四象限的角.,因为cos =0.5,所以符合条件在第一象限的角x= .,由诱导公式知cos(2x)=cosx, 所以cos( )=cos =0.5, 即在第四象限,符合条件的角x= .,(2)已知cosx= ,x不是特殊角,于是可以用反余弦来表示。,考察余弦函数知,函数y=cosx在区间0,2)上,对于y(1,1)的任何一个值,有两个角与之对应.,如果我们限定x在区间0,上取值,那么对于区间1,1的任意一个y的值,x只有唯一值与之对应.,在区间0,上符合条件cosx=y (1y 1)的角x,记为x=arccosy,,于是cosx= ,,x=arccos( )=arccos,x在第二象限,若x在第三象限,则x=+arccos,综上得满足cosx= 的角的集合是,反余弦举例:,若cosx=0.2,x在第一象限,,则x=arccos(0.2).,若cosx=0.2,x在第四象限,,则x=arccos(0.2)或x=2arccos(0.2),解集为x| x=2k+arccos0.2, kZ x|x=2karccos0.2, kZ,若cosx=0.7,x在第二象限,,则x=arccos(0.7)=arccos0.7.,若cosx=0.7,x在第三象限,,则x=+arccos(0.7),解集为x| x=2k+arccos0.7, kZ x|x=2k+arccos0.7, kZ,例3. 已知tanx= ,且x ,求x的值.,解:因为正切函数在 上是增函数,所以正切值等于 的角x有且只有1个.,由tan( )=tan = ,所以x=,一般地,对于tanx=a (a0),则 x=k+arctana,kZ. 如tanx=2,则x=k+arctan2. kZ.,对于tanx=a (a0),则 x=karctan(a),kZ. 如tanx=2,则x=karctan2. kZ.,
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