人教版数学九年级上册第二十四章圆教案

1、第二十四章 圆 241 圆的有关性质 241.1 圆 经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念 重点 经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念 难点 理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义 活动 1 创设情境，引出课题 1多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体 2提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？ 活动 2 动手操作，形成概念 在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆 教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大 小分别由什么决定？ 教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定 1从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一 周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径以点 O 为圆 心的圆，记作“O” ，读作“圆 O” 2小组讨论下面的两个问题： 问题 1：圆上各点到定点(圆心 O)的距离有什么规律？ 问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 3小组代表发言，教师点评总结

2、，形成新概念 (1)圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径 r)； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等 于定长 r 的点的集合(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点， 都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上) 活动 3 学以致用，巩固概念 1教材第 81 页 练习第 1 题 2教材第 80 页 例 1. 多媒体展示例 1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定 长，即四个点到 O 的距离相等 活动 4 自学教材，辨析概念 1自学教材第 80 页例 1 后面的内容，判断下列问题正确与否： (1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆 (2)圆上任意两点间的线段叫做弧 (3)在同圆中，半径相等，直径是半径的 2 倍 (4)长度相等的两条弧是等弧(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或 等圆中的弧) (5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧 2指出图中所有的弦和弧 活动 5 达标检测，反馈新

3、知 教材第 81 页 练习第 2，3 题 活动 6 课堂小结，作业布置 课堂小结 1圆、弦、弧、等圆、等弧的概念要特别注意“直径和弦” “弧和半圆”以及“同圆、等 圆”这些概念的区别和联系等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的， 它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据 2证明几点在同一圆上的方法 3集合思想 作业布置 1以定点 O 为圆心，作半径等于 2 厘米的圆 2如图，在 RtABC 和 RtABD 中，C90，D90，点 O 是 AB 的中点 求证：A，B，C，D 四个点在以点 O 为圆心的同一圆上 答案：1.略；2.证明 OAOBOCOD 即可 241.2 垂直于弦的直径 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解 重点 垂径定理及其运用 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 一、复习引入 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做 圆固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆，记作“O” ，读作“

4、圆 O” 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB； 经过圆心的弦叫做直径，如图线段 AB； 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以 A，C 为端点的弧记作“” ，读作“圆弧 AC AC”或“弧 AC” 大于半圆的弧(如图所示)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示或)叫做 ABC AC BC 劣弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 二、探索新知 (学生活动)请同学按要求完成下题： 如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由 (老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是 CD. (2)AMBM，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分及. AC BC AD BD AB ADB 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB，且 CDAB 垂足为 M. 求证：AMBM，. AC BC AD BD 分析

5、：要证 AMBM，只要证 AM，BM 构成的两个三角形全等因此，只要连接 OA，OB 或 AC，BC 即可 证明：如图，连接 OA，OB，则 OAOB， 在 RtOAM 和 RtOBM 中， RtOAMRtOBM， AMBM， 点 A 和点 B 关于 CD 对称， O 关于直径 CD 对称， 当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，与重合，与重合 AC BC AD BD ，. AC BC AD BD 进一步，我们还可以得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (本题的证明作为课后练习) 例 1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 AB60 m，水面到拱顶距离 CD18 m，当洪水泛滥时，水面宽 MN32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由 分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN32 m 是否需要采取紧急措施，只要求出 DE 的长，因 此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R. 解：不需要采取紧急措施， 设 OAR，在 RtAOC 中，AC30，CD18， R2302(R18)2， R2900R236R324， 解得 R34(

6、m)， 连接 OM，设 DEx，在 RtMOE 中，ME16， 342162(34x)2， 16234268xx2342，x268x2560， 解得 x14，x264(不合题意，舍去)， DE4， 不需采取紧急措施 三、课堂小结(学生归纳，老师点评) 垂径定理及其推论以及它们的应用 四、作业布置 1垂径定理推论的证明 2教材第 89，90 页 习题第 8，9，10 题 241.3 弧、弦、圆心角 1理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角 2掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证 明和计算 重点 圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用 难点 从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系 活动 1 动手操作，得出性质及概念 1在两张透明纸片上，分别作半径相等的O 和O. 2将O 绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？ 3在O 中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教 师补充完善圆心角的概念 如图，AOB 的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角 4判断图中的角是否是圆心角，说明

7、理由 活动 2 继续操作，探索定理及推论 1在O中，作与圆心角AOB 相等的圆心角AOB，连接 AB，AB，将两张纸片叠在 一起，使O 与O重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得 OA 与 OA重合，在操作的 过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流 2学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等 3在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？ 4综合 2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的弦也相等请用符号语言把定理表示出来 5分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？ 6定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究： (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？ (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？ 综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们 所对应的其余各组量也相等 活动 3 学

8、以致用，巩固定理 1教材第 84 页 例 3. 多媒体展示例 3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等鼓 励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想 活动 4 达标检测，反馈新知 教材第 85 页 练习第 1，2 题 活动 5 课堂小结，作业布置 课堂小结 1圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性 2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量都分别相等，以及其应用 3数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想 作业布置 1如果两个圆心角相等，那么( ) A这两个圆心角所对的弦相等 B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D以上说法都不对 2如图，AB 和 DE 是O 的直径，弦 ACDE，若弦 BE3，求弦 CE 的长 3如图，在O 中，C，D 是直径 AB 上两点，且 ACBD，MCAB，NDAB，M，N 在O 上 (1)求证：； AM BN (2)若 C，D 分别为 OA，OB 中点，则成立吗？ AM MN BN 答案：1.D；2.3；3.(1

9、)连接 OM，ON，证明MCONDO，得出MOANOB，得出 ；(2)成立 AM BN 24.1.4 圆周角(2 课时) 第 1 课时 圆周角的概念和圆周角定理 1理解圆周角的概念，会识别圆周角 2掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算 重点 圆周角的概念和圆周角定理 难点 用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定 活动 1 复习类比，引入概念 1用几何画板显示圆心角 2教师将圆心角的顶点进行移动，如图 1. (1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如AOB. (2)当角的顶点运动到圆周时，如ACB 这样的角叫什么角呢？ 学生会马上猜出：圆周角教师给予鼓励，引出课题 3总结圆周角概念 (1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周 上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求 (2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图 学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：顶点在圆周上；角的两边都与圆 相交最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周 角 (3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？ 学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因 此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件 活动 2 观察猜想，寻找规律 1教师出示同一条弧所对圆周角为 90，圆心角为 180和同一条弧所对圆周角为 45，圆 心角为 90的特殊情况的

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