编码原理 习题(含答案或提示)
5页1、 纠错编码课程习题及解答提示 纠错编码课程习题及解答提示 1. 奇校验码码字是奇校验码码字是 011 (, ) k m mmp =c? ,其中奇校验位,其中奇校验位p满足方程,满足方程, 2 mod 1 110 =+ pmmm k ? 证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同,但奇校验码不是线性分组码。证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同,但奇校验码不是线性分组码。 证明提示证明提示: 奇数个差错的发生总导致校验方程不满足。全 0 向量不是奇校验码码字。 2. 一个一个)2 , 6(线性分组码的一致校验矩阵为线性分组码的一致校验矩阵为 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 h h h h = H (1)求)求4 , 3 , 2 , 1, =ihi使该码的最小码距使该码的最小码距3 min d 。 (2)求该码的系统码生成矩阵)求该码的系统码生成矩阵 s G 及其所有及其所有 4 个码字。个码字。 解题提示: 解题提示: (1)对 H 作行初等变换得 1 21 31 423 10001 10010 10100
2、01000 h hh H hh hhh + = + + 要使最小码距等于 3,有 11213423 , , , hhhhhhhh+中任意两项为 1,其余为零。当要使最 小码距大于 3,有 11213423 , , , hhhhhhhh+中三项或四项均为 1,其余为零。有上述关系可以 求得一组或多组关于4 , 3 , 2 , 1, =ihi的解。 (2)对 H 作行初等变换得 () 423 31 21 1 01000 10100 10010 10001 T k rr hhh hh HQI hh h + + = = + 3. 一个纠错码的全部消息与码字的对应关系如下:一个纠错码的全部消息与码字的对应关系如下: (00)(00000),(01)(00111),(10)(11110),(11)(11001) (1)证明该码是线性分组码;)证明该码是线性分组码; (2)求该码的码长,编码效率和最小码距;)求该码的码长,编码效率和最小码距; (3)求该码的生成矩阵和一致校验矩阵;)求该码的生成矩阵和一致校验矩阵; (4)构造该码在)构造该码在 BSC 上的标准阵列;上的标准阵列; (5)若在转移概
3、率)若在转移概率 3 10=p 的的 BSC 上消息等概发送,求用标准阵列译码后的码字差错概率和 消息比特差错概率。 上消息等概发送,求用标准阵列译码后的码字差错概率和 消息比特差错概率。 解题提示:解题提示: (1)任意两个码字的和是另一个码字且全零向量为码字。 (2)码长为向量长,即5n =。码字数为 4,故 2 log log 42 55 q M R n =。最小非零码字的 重量为min3wd=。 (3)因为码字数为 4,任意两非零码字构成生成矩阵的行向量 11110 00111 G = 。按 G 与 H 正交的 条件,解得 H 的一种可能情况等于 11110 11000 01101 。 (4)标准阵列见题表(3.1) 。 题表(3.1) 标准阵列 0 c00000 1 c00111 2 c11110 3 c11001 0 e00000 00000 00111 11110 11001 1 e00001 00001 00110 11111 11000 2 e00010 00010 00101 11100 11011 3 e00100 00100 00011 11010 11101
4、4 e01000 01000 01111 10110 10001 5 e10000 10000 10111 01110 01001 6 e10010 10010 10101 01100 01011 7 e10100 10100 10011 01010 01101 (5)按题解(4)的标准阵列译码,记 c A是标准阵列中码字 c 对应的列,E是包括无错图案和全 部可纠正差错图案的集合,那么码字差错概率为 ()()() 543 2 ( )1( ) ()1( )( ) 1( )( ) ( ( ) 1 1415121 4 Wc c Cc Ce E c Ce E PeP c P rceAP cP e P cP eP c ppppp = =+ = = = + 均匀分布,信道差错均匀分布 记消息比特差错概率为( ) b P e,消息向量差错概率为( ) B P e,注意到该码是非系统码以及消息向量 长为 2,则应有 () 2 ( )( )1( )11( ) WBBb PeP eP cP e= = () 23 ( )11( )111252 bW P ePepppp= = + (6)码字差错概率计算中
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