电动力学-第二章节幻灯片

1、第二章静电场 1 静电场的标势及微分方程 2 唯一性定理 3 拉普拉斯方程 分离变量法 4 镜像法 6 电多极矩,电动力学 第二章,本章研究的主要问题：,本章内容：,电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。,在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。,1静电场的标势及微分方程,无旋有势，定义:,或,静电场不随时间变化为无旋场,1。静电场的标势,库仑场,电势差,积分 与路径无关,当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为参考点，规定其上电势为0,点电荷,静电场标势,叠加原理,连续分布,已知电荷分布求电势,全空间电荷为0，库仑场的标势为0,解：,例1 求均匀电场 的电势。,均匀电场每一点强度 相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 ，那么任一点P处的电势为,若选0=0，则有,例 2 ：真空中均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为 ，求电势。,由查表得,p 点的电势为,设场点 p 到导线的距 离为R，电荷元 到 p 点的距离为 ，电势 由公式 求得,p 点和 p0 的电势差,2。静电势的微分方程,静电场标

2、势,泊松方程,3。静电场能 将 换成 的公式,其中 不代表能量密度,电荷在外场中的电势能、静电场能,当带电体为一点电荷,电荷在外场中，电荷的场和外场的叠加,外场场能 点电荷场能 两场能交叉项,电荷在外场中的势能,静电场标势,由边界条件,a.边界条件,静电势的微分方程,导体的静电条件归结为： 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上。 导体内部电场为零。 导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表 面为等势面，整个导体的电势相等。,1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程,a.一般介质的边界条件,b.导体的静电条件,静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系的泊松方程的解,2唯一性定理 1。静电问题的唯一性定理,若在有限的边界区域 V内有 几种均匀绝缘介质，V 内的 自由电荷分布为已知，那么 当 V的边界面S上满足一定 边界条件时, 静电场方程有 唯一确定的解。,证明：设有两组不同的解 和 满足唯一性定理的条件，令,在每个均匀区域内，有：,在任意两均匀区域的界面上，有：,在整个区域的边界上，有：,或,考虑第i个均匀区域V的界面S上的积分,对所有分区求和，得,2。

3、有导体时的唯一性定理 只需给出每个导体的 值 或每个导体上的电量,证明： 考虑去掉导体后的绝缘介质区域 第一种情况：给出了第一类边界条件 第二种情况：,对导体表面有,2唯一性定理 1。静电问题的唯一性定理 2。有导体时的唯一性定理 唯一性定理说的是只要物理问题满足区域内的电荷分 布和边界条件相同，它们的解就是等价的，就都是问 题的解，没有区别，其解唯一。换句话说：只要保证问题条件不变，怎么求都行！ 因此，在实际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求的条件，它就是唯一正确的解。,例题（注：用唯一性定理解题） 如图，两同心导体球壳之间 充满两种介质。左半边电容 率为 ，右半边电容率为 ，设内球带电量 Q ，外 球壳接地。求空间的电场和 球壳上的电荷分布。 分析两介质面 在球的 方向。且 这样可取,假设 E 球对称,设： 这样可满足 E 在切向连续,电荷分布满足了，总边界条件满足了，内部边界满足了，由 解的唯一性定理保证，上面得到的结果就是问题的解。,静电势方程 边界条件 导体的静电条件 静电问题的唯一性定理,静电场的方程及边界条件,静电问题有解的条件

4、：,求解区域V内给定自由电荷分布(x) ，在V的边界S上给定,（i）电势,（ii）电势的法向导数,或,则V内的电场唯一地确定。,若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电势或导体上的电荷。,例如：, 电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的。, 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。,这些问题的特点是：,自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布。,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的,一、拉普拉斯方程,如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则V 内部自由电荷密度0，电势所满足的泊松方程化为比较简单的情形：,注意：求解区域内0，产生电场的电荷全部分布于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的解。,这就是拉普拉斯方程。,二、分离变量法,分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实际问题的的解。,不同坐标系中拉氏方程的通解不同。,1. 球坐标：,若问题具有轴对称性，取此轴

5、为极轴，通解为,若问题具有球对称性,其中,2. 柱坐标：,若u与z无关，转化为二维极坐标中的问题,拉普拉斯方程极坐标圆域通解,若轴对称，,设：球半径为 ，球外为真空， 该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场 方 向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。 以原点为电势0点， 为球外势， 为球内势能,3拉普拉斯方程分离变量法 例2：电容率为 的介质球置 于匀强外场 中，求电势 解：,1,通解为,表示球内域的电势,表示球外域的电势,由于是轴对称球坐标系,所以关于 对称,通解中没有,写出通解,处理掉总边界条件,内部边界一类条件确定系数关系,比较系数,内部边界二类条件确定系数关系,联立方程可以解得,2,3,偶极子的电势,介质内 小于外电场,总偶极矩为,极化强度,外场为匀强电场与偶极矩的场的叠加,内场为匀强电场，匀强电场中,4,例3：球半径为 接地金属球置于匀强外场 中，求电势和导体表面的电荷面密度,解：设球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称 性，对称轴为通过球心沿外场 方向的轴线。取此线 为轴线球心为原点建立球坐标系。 为球外势,金属球为等势体，坐标原点电势为0,3拉普拉斯方程分

6、离变量法,由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有,同时处理总边界条件,内边界 条件处理,给势就是给电荷,球半径为 金属球置于匀强外场 中，导体球上接有电池，使球与地保持电势差 求电势,问题？,2 . 球半径为 金属球置于匀强外场 中，求电势 (1)导体球上接有电池，使球与地保持电势差 解： 设：以球心为原点，外场 方向为极轴的正方向建立 球坐标系,设坐标原点电势为 。导体球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称性。 设球内外势分别用 表示。问题表示为,由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有,例4尖劈问题,取,问题转换为,例4尖劈问题的数学问题为,包含零点 有界,扇形通解为,主要讨论当 非常小时的情况，,当,主要讨论当 非常小时的情况，,零端n与角度反向，终端n与角度同向，,当,当 很小时主要贡献为第一项,经整理得尖劈问题小结,当,对于三维问题就是尖端放电,取,由物理问题可得电势的通解为,空间电场强度为,导体面自由电荷密度为,分离变量法解题步骤 1。分析题意建立适当的坐标系简化通解形式 2。用数学语言写出空间的物理问题（包括边界条件） 3。写出不同区域的通解形式 4。用外围边

7、界条件清除一些系数 5。用内部边界条件确定其他的系数关系并求解 6。代回系数得到所求电势结论 7。观察结论是否符合问题的物理意义 8。注意：若求场强、电荷密度，要用所在坐标系下的梯度、散度、旋度公式,二、镜象法的基本思想,在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或介质的极化电荷,一、研究的问题,在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面,4 镜象法,三、理论基础,镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候必须保证原有的场方程，边界条件不变,4 镜象法,4 镜象法,四、注意事项,1、象电荷必须放在所研究的场域外。 2、把整个空间看成均匀的无界空间，并且介电常数是所研究场域的介电常数。 3、象电荷电量不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等。 4、适用范围：场区域的电荷是点电荷，或无限长导线；导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面，柱面，平面）,接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，距离为a。求空间中的电场。

8、,电荷分布：一个点电荷。 边界面：接地无穷大导体。 求解区域：上半空间（下半空间电势为零）,分析：,例1,已知电荷分布和界面电势(等于零)，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。,电荷分布和电场分布：,点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷。整个电场是由Q和感应电荷共同产生的。,由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应电荷的假想电荷为Q。问题是：Q应该放在什么位置？电量是多少？,以电场的对称轴为Z轴建立直角坐标系， X轴和Y轴在导体表面上。,解：,根据电场的轴对称性，Q必在对称轴上，即在Q到板面的垂线上。设Q到板面的距离为b，导体板上方的电势为：,所以，,注意到上式对任意x、y都成立，所以,导体板上方的电势为：,真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a（aR0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势（如图）。,例2,分析：,电荷分布：一个点电荷。 边界面：导体球面。 求解区域：球面外区域。,已知电荷分布和界面电势(等于零)，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。,以电场的对称轴为轴线，球心为坐标原点，建立球坐标系。,解：,根据电场的轴对称性，Q必在对

9、称轴上，即在Q到球心的连线上。设Q到球心的距离为b，球外空间的电势为：,考虑球面上任一点P（如图）,即对球面上任一点，应有,只要选Q的位置，使OPQOQP即可，此时,球外任一点P的电势为：,物理结果讨论：,根据高斯定理，收敛于球面的电通量为Q。Q为球面的总感应电荷，它是受电荷Q的电场的吸引而从接地处传至导体球上的。,然而|Q|Q，由电荷Q发出的电场线只有一部分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远处。,真空中有一半径为R0的导体球,球上带总电荷Q0，距球心为a（aR0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势（如图）。,例3,分析：,电荷分布：一个点电荷。 边界面：导体球面。 求解区域：球面外区域。,边界条件为导体上所带的电荷量。球外电场由点电荷Q ，点电荷引起球上的感生电荷Q ，球上所带电荷Q0 - Q共同生成。根据叠加原理！,求Q所受的力,镜象法解题步骤 1。正确写出电势应满足的微分方程及边界条件 2。根据给定边界条件计算象电荷的电量和所在位置 3。由已知电荷及象电荷写出电势的解析式 4。根据需要求出场强、电荷分布及电场作用力等,镜象法解题步骤二 1。正确写出电势应满足的微分方程及边界条件 2。根据经验，对称性等给出象电荷的电量和所在位置 3。由已知电荷及象电荷写出电势的解析式 4。验证结果符合唯一性定理要求 5。根据需要求出场强、电荷分布及电场作用力等,球壳带电体的分析电荷在球壳内部 1 。球壳接地,球壳带电体的分析电荷在球壳内部 2。球壳不接地,球壳带电体的分析电荷在球壳内部 3。球壳带电不接地,球壳带电体的分析 电荷在球壳外部 1 。球壳接地 2。球壳不接地 3。球壳带电不接地,偶极子的势,6 电多极矩 一.偶极子和四极子,偶极矩, 一级矩,5,四极子的势,四极子的势,四极矩

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