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贵州省铜仁市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

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    • 1、思南中学思南中学 2018-20192018-2019 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高一数学试卷高一数学试卷 考试时间:考试时间:120120 分钟;满分:分钟;满分:150150 分;分; 分卷分卷 I I 一、选择题一、选择题( (共共 12 小题小题, ,每小题每小题 5 分分, ,共共 60 分分) ) 1.已知的外接圆的半径是 3,则 等于( ) A. 30B. 60C. 60或 120D. 30或 150 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用正弦定理求解即可. 【详解】根据正弦定理,得, ,或.故选 D. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常 见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角) ; (2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外 接圆半径. 2.在等差数列中,若,则的值等于( ) A. 45B. 75C. 180D. 300 【答案】C 【解析】 在等差数列 中, ,又 ,故选 C. 【方法点睛

      2、】本题主要考查等差数列的性质,属于简单题.等差数列的常用性质有:(1) 通项公式的推广: (2) 若 为等差数列,且 ;(3) 若是等 差数列,公差为 ,则,是公差 的等差数列;(4) 数列也是等差数列. 本题的解答运用了性质(2). 3.已知等差数列中,则的值是( ) A. 15B. 30C. 31D. 64 【答案】A 【解析】 由等差数列的性质得,故选 A. 4.在等比数列中,且,则的值为( ) A. 16B. 27C. 36D. 81 【答案】B 【解析】 由a3a4q2(a1a2)9,所以q29,又an0,所以q3.a4a5q(a3a4)3927. 选 B. 5.不等式的解集为空集,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 不等式的解集为空集等价于有一个或没有实根,利用判别式不小于零列不等 式求解即可. 【详解】因为不等式的解集为空集, 所以的图象与 轴没有交点或有唯一交点, 有一个或没有实根, ,解得, 的取值范围是,故选 B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系,属于基础题.二次函数与一元二次方程及一元 二次不等式三者

      3、的综合应用问题是高频考点,一定要熟练掌握. 6.若,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 与 的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】 利用作差法,可得,从而可得结论. 【详解】 , .故选B. 【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小,属于简单题. 比较两个数的大小主要有四种方法: (1)作差法;(2)作商法;(3)函数单调性法;(4)基本不等式法. 7.在中,若,则的形状一定是( ) A. 等腰直角三角形B. 直角三角形 C. 等腰三角形D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦定理得,化为,即,从而可得结论. 【详解】因为, 所以由正弦定理得 . , , 即,即, , 故是直角三角形.故选 B. 【点睛】判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三 角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边 之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 8.已知为非零实数,且,则下列命题一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C

      4、【解析】 【分析】 利用特例法判断选项中的命题,利用不等式的性质判断 中命题. 【详解】中,例如当时不成立; 中,例如时不成立; 中,例如时不成立; 中,不等式两边同乘以非零正实数, 不等号方向不变,得到,故选 C 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于基础题. 9.已知数列满足,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用排除法,根据,当时,可排除选项,从而可得结果. 【详解】利用排除法,因为, 因为当时,排除 ; 当时, 符合题意; 当时,排除 ; 当时,排除 ,故选 B. 【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件,得出特殊结论,然后对各个选项进行检验,从而做出正确的 判断,这种方法叫做特殊法. 若结果为定值,则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略,排除法 解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率,又能提高准确 性. 10.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为( ) A. 6B. 7C. 8D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】 先作可行域,再结合图象确定最优解,

      5、解得结果. 【详解】先作可行域,则直线过点 A(2,1)时取最小值 7,选 B. 【点睛】本题考查线性规划求最值问题,考查基本分析求解能力,属基本题. 11.设为数列的前 项和,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列的求和公式求得,结合分组求和法,再由等比数列求和公式可得结果. 【详解】 , .故选 D. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式以及分组求和法的应用,意在考查综合应用所学知识解答问题 的能力,属于中档题. 12.已知中,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由正弦定理得:amk,bm(k1),c2mk(m0),因为 即 所以 k . 卷卷 IIII 二、填空题二、填空题( (共共 4 小题小题, ,每小题每小题 5 分分, ,共共 20 分分) ) 13.设是等差数列的前 项和,且,则 【答案】25 【解析】 由可得,所以。 14._. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用裂项相消法求解即可. 【详解】 ,故答案为. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和,属于基础题. 裂项相消法是最难把握

      6、的求和方法之一,其 原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1) ;(2) ; (3); (4) . 15.太湖中有一小岛 C,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路 A 处测得小岛在公路的南偏西 15的 方向上,汽车行驶 1 km 到达 B 处后,又测得小岛在南偏西 75的方向上,则小岛到公路的距离是_ km. 【答案】 【解析】 如图所示,过 C 作 CDAB,垂足为 D,A=15,CBD=75,AB=1km, ABC 中,BC=,CBD 中,CD=BCcos15=km故填 16.已知分别为三个内角的对边,则面积的最 大值为_ 【答案】 【解析】 由已知,即得,由正弦定理,三角形的周长为 ,周长的取值范围为 . 三、解答题三、解答题( (共共 6 小题小题,17,17 小题小题 10 分分, ,其余各小题其余各小题 1212 分,共分,共 70 分分) ) 17.解不等式:(1) ;(2) 【答案】(1) 或;(2) 或. 【解析】 【分析】 (1)求出方程的根,利用一元二次不等式的解法求解即可;(2)转化为一元二次不等式求解,

      7、转化过程注意. 【详解】(1)在不等式的两边同乘1,可得. 方程的解为, 函数的图象是开口向上的抛物线, 所以原不等式的解集为或; (2) 故原不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查分式不等式与一元二次不等式的解法,属于基础题. 本题考查了求一元二次不等式 的解法,是基础题目若,则的解集是;的解集是 . 18.设都是正数,且,求的最小值 【答案】 . 【解析】 【分析】 利用,展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】,. . 当且仅当,即时,取“” 又, . 的最小值为 . 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌 握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为 定值(和定积最大,积定和最小) ;三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等 时参数是否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立). 19.已知在中,内角的对边分别为,且. (1)求角 的大小; (2)若,求的长. 【答案】(1) .(2) . 【解析】 【分析】 (1)由,利用正弦定理可得,化为,从而可得结

      8、果;(2)由 ,利用正弦定理得,再根据余弦定理列方程求解即可. 【详解】(1), 由正弦定理可得. ,又,. (2),由正弦定理得, 由余弦定理, 得, 解得 (负值舍去),. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种 形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外, 在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直 接应用. 20.某家具厂有方木料 90 ,五合板 600,准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料 0.1 ,五合板 2 ,生产每个书橱需要方木料 0.2,五合板 1 ,出售一张书桌可获利润 80 元, 出售一个书橱可获利润 120 元请问怎样安排生产可使所得利润最大? 【答案】生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大 【解析】 【分析】 设生产书桌 张,书橱 个,利润总额为 元,可得,利用线性规划可得结果. 【详解】由题意可画表格如下: 设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元, 则,. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可

      9、行域 作直线,即直线. 把直线 向右上方平移至 的位置时,直线经过可行域上的点, 此时取得最大值 由 解得点的坐标为 所以当,时, 的最大值为 (元) 因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大 【点睛】在本题考查了简单线性规划的应用,属于基础题解决线性规划的应用题时,其一般步骤为:分 析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数 Z 与直 线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中 21.已知数列的前 项和为, (),等差数列中, (), 且,成等比数列 (1)求数列、的通项公式; (2)求数列的前 项和, 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1) 由,可得, 两式相减化为 ,从而可得数列的通项公式,由,成等比数列列出关 于首项、公差 的方程组,解方程组可得与 的值,从而可得的通项公式; (2) 由(1)知 ,利用错误相减法,结合等比数列的求和公式 求解即可. 【详解】(1) , , , 即, 而,. 数列是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, 在等差数列 中,. 又3、27成等比数列,得,又,故公差,所以, 又, (2) 由(1)知, , 得 . . 【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和,属于中档题.一般地, 如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前 项和时,可采用“错位相减法”求和,一 般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别 注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 22.已知函数. (1)若函数在区间与内各有一个零点,求实数的取值范围; (2)解关于 的不等式. 【答案】(1) ;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用函数零点就是函数图象与 轴交点,结合函数图象可得,解不等式即可得结果;(2) 原不 等式可化为,分五种情况讨

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