【100所名校】天津市耀华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）（解析版）

1、天津市耀华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1空间两条直线a、b与直线l都成异面直线，则a、b的位置关系是（ ）A. 平行或相交 B. 异面或平行C. 异面或相交 D. 平行或异面或相交2如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A. 423 B. 433 C. 36 D. 833一个球受热膨胀，表面积增加21%，那么球的半径增加了（ ）A. 2110 B. 3710 C. 1110 D. 1104若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则（ ）A. A0B0C0 B. A0B0

2、 C. B0C0 D. A0C05在60的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是（ ）A. 3 B. 23 C. 33 D. 436若两条直线(a2+a-6)x+12y-3=0与(a-1)x-(a-2)y+4-a=0互相垂直，则a的值等于（ ）A. 3 B. 3或5 C. 3或-5或2 D. -57如果P是等边ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC=23，ABC边长为1，那么PA与底面ABC所成的角是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 9088给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1第II卷（非选择题）二、填空题9已知两点P(2,-3)，Q(3,2)，直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则a的取值范围是_10过点P(2,1)作

3、直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则使|PA|PB|的值最小时直线l的方程为_11已知ABC中，A=30，B=60，AB=2，AB平面，平面ABC与所成角为30，则C到平面的距离为_12已知圆锥侧面展开图为中心角为135的扇形，其面积为B，圆锥的全面积为A，则A:B为_13直线l:x-y-2=0关于直线3x-y+3=0对称的直线方程是_14在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC、ACD、ADB的面积分别为22、32、62，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为_三、解答题15一直线被两直线l1:4x+y+6=0，l2:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程16已知点P到两个定点M(-1,0)、N(1,0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为1求直线PN的方程17如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CD=3，平面 平面EDCF平面ABCD（1）求证： DF平面ABE（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值

4、为34，若存在，求出线段BP的长天津市耀华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）答 案1D【解析】直线a、b与直线l都成异面直线，a与b之间并没有任何限制，所以a与b直线的位置关系所有情况都可能故选D2B【解析】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积故其体积V=13422-1=433,选B3D【解析】设因膨胀半径由r变为R，则4r2(121%)4R2，R=r2(1+21%)=1110r=r1+110，半径增加110故选D4B【解析】方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，直线的斜率存在且不等于0，A0且B0故选B5D【解析】如图，AP=8，HAP=60，HP=APsin60=43故选D6C【解析】由两条直线垂直或知A1A2+B1B2=0，即(a2+a-6)(a-1)-12(a-2)=0，即(a-2)(a-3)(a+5)=0，解得a1=2，a2=3，a3=-5故选C7A【解析】如图，易知P-ABC为正三棱锥，PO面ABC，PA与底面ABC所成的角，即为APO，AO=33AB=33，PA=23，cosPAO=A

5、OPO=32，故PAO=30故选A点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可8B【解析】本题考查空间线面位置关系的判定和性质。解答：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行，正确，是线面平行的性质定理。如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面，正确，是线面垂直的判定定理。如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行，不正确，这两条直线也可能相交、异面。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直，正确，是面面垂直的判定定理。故选B。9-43,12【解析】P、Q在直线ax+y+2=0的两侧或在直线上，(2a-3+2)(3a+2+2)0，-43a1210x+y-3=0【解析】如图所示：设BAO=，090，|PA|=1sin，|PB|=2cos，|PA|PB|=2sincos=4sin2，2

6、=90，即=45时，|PA|PB|取最小值，时、直线的倾斜角为135，斜率为-1，直线的方程为y-1=-1(x-2)，即x+y-3=01134【解析】设C到AB的距离为h，在ABC中，A=30，B=60，AB=2，C=90，BC=1，AC=3，h=BCACAB=32，平面ABC与所成角为30，点C到面的距离为32sin30=34点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可1211:8【解析】圆锥底面弧长l=2r=2R135360，rR=38，即r=38R，B=R2135360，A=R2135360+r2，AB=R2135360+r2R2135360，=38R238R238R2=118137x+y+22=0【解析】由x-y-2=03x-y+3=0得x=-52y=-92，两条直线的交点为-52,-92，该点也在所求直线上，在l上任取一点P:(0,-2)，设它关于直线3x-y+3=0的对称点为Q

7、:(x0,y0)，则有y0+2x0-03=-13x02-y0-22+3=0，解得x0=-3y0=-1，Q:(-3,-1)且在所求直线上，所求直线方程为y+1-92+1=x+3-52+3，即7x+y+22=0146【解析】在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径，设长方体的三度分别为a、b、c，则有12ab=62，12bc=32，12bc=22，解得：a=3，b=2，c=1，所以球的直径d=3+2+1=6，球的半径r=d2=62，三棱锥A-BCD的外接球的体积为V=43633=6点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=a,PB=b,PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解15x+6y=0【解析】试题分析：根据中点坐标公式设A，B，代入直

8、线方程，消去常数即得所求直线方程.试题解析：解：设所求直线与l1，l2的交点分别是A，B，设A(x0,y0)，则B点坐标为-x0,-y0，因为A，B分别在l1，l2上，所以4x0+y0+6=0-3x0+5y0-6=0，+得：x06y00，即点A在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，所以直线l的方程为x+6y=0.16y=x-1或y=-x+1【解析】试题分析：先根据直接法求轨迹的方法求点P轨迹方程，再根据三角形PMN确定PMN，进而根据图像确定直线PM的斜率，利用点斜式写直线PM的方程，与圆联立解得点P坐标，最后根据两点式写直线PN的方程试题解析：解：设点P的坐标为(x,y)，由题设有|PM|PN|=2，即(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，整理得x2+y2-6x+1=0，因为点N到PM的距离为1，|MN|=2，所以PMN=30，直线PM的斜率为33，直线PM的方程为y=33(x+1)将式代入式整理得x2-4x+1=0，解得x=2+3，x=2-3，代入式得点P的坐标为(2+3,1+3)或(2-3,-1+3)；(2+3,1-3)或(2-3,1-3)，直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1点睛：求动点轨迹方程，一般方法有直接法、转移法、参数法.本题关于动点P的条件为两线段的比值，所以利用直接法求动点轨迹.17（1）见解析（2）53131（3）2【解析】试题分析：（1）利用空间向量证明线面平行，一般转化为对应平面法向量与直线垂直，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，根据向量数量积证明垂直，最后根据线面平行判定定理证明，（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面

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