【100所名校】江西省2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

1、江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二下学期第一次月考试题数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1给出下列四个命题，其中正确的是 （ ）空间四点共面，则其中必有三点共线； 空间四点不共面，则其中任何三点不共线；空间四点中存在三点共线，则此四点共面； 空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面A. B. C. D. 2在空间中，下列命题正确的是（ ）A. 若直线a/平面，直线b/a，则b/B. 若a/平面，b/平面，a,b，则/C. 若a,b，a/,b/，则/D. 若/，a，则a/平面3.设是三条不同的直线， 是两个不同的平面，则能使成立是( )A. B. C. D. 4如图所示，正方形OABC的边长

2、为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A. 6B. 8C. 23D. 225已知a、b是异面直线，a平面，b平面，则、的位置关系是 （ ）A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 不能确定6有以下四个命题：其中真命题的序号是 （ ）若且，则；若且，则；若且，则；若且，则 7在四面体中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D.8如图,各棱长均为的正三棱柱， 、分别为线段、上的动点,且 平面,则这样的有 ( )A. 1条 B. 2条C. 3条 D. 无数条9从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60,则二面角BPAC的余弦值是（ ）A. 12 B. 33 C. 13 D. 3210某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为（ ）A. B. C. D. 11已知正三棱锥P-ABC 的高PO的长为h，点D为侧棱PC的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为23，则正三棱锥P-ABC 的体积为 （ ）A. 338h3 B. 238h3 C. 38h3 D. 334h312如图，在三棱锥中， ， ，则三棱锥的

3、外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题13一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位: ），则该几何体的体积为_14如图：长方体ABCDABCD中，AB=3，AD=AA=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P为CD上动点，当EFCP时，PC=_ 15在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2，BB12，ABC90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为_16如右图，三棱柱中，E,F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为两部分，则 ： _.三、解答题17如图四棱锥底面为矩形，侧棱底面，其中为侧棱上的三等分点。（）证明： 平面；（）求三棱锥的体积。18如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（）求该几何体的表面积和体积；（）求点C到平面MAB的距离.19如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线N

4、E与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由20如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=BC1 （）求证： GE侧面AA1B1B ；（）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值.21已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C（）求直线与曲线C围成的区域面积； （）点在直线上，点，过点作曲线C的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值22已知函数， （1）求的单调区间（2）证明：当时，方程在区间上只有一个零点（3）设，其中若恒成立，求的取值范围江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二下学期第一次月考试题数学（理）答 案1A【解析】对于，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故错误；对于，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾故正确；对于，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定

5、一个平面，得到此四点必共面；故正确；对于，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形，故不正确；故选A.2D【解析】选项A中，由条件可得b/或b，故A不正确选项B中，由条件可得/或，相交，故B不正确选项C中，由条件可得/或，相交，故C不正确选项D中，由面面平行的性质可得a/平面，故D正确选D3C【解析】选项A中，由， 可得不一定成立，故A不正确；选项B中，由， ， 不能得到，故B不正确；选项C中，由， 可得，故C正确；选项D中，由， 可得，故D不正确。综上选C。4B【解析】由题意可得原图形为如图所示的平行四边形，其中，所以，故原图形的周长为8选B点睛：（1）斜二测画法的规则：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的（2）对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积与其直观图面积之间的关系，并能进行相关问题的计算5A【解析】a、b是异面直线，a 平面，b 平面，若/，则a/b，与a、b是异面直线矛盾，、的位置关系是相交，故选A.6D【解析】试题分

6、析：若， 则 ；不正确，还有可能；不正确；排除A,C。由知且，则；正确；故选D。考点：本题主要考查立体几何的平行关系、垂直关系。点评：简单题，这类题目已成为考查到重要题型，牢记定理、法则是关键。结合选项是技巧。7C【解析】试题分析：根据题意设取中点记为，连接,在中，分别是中点，所以，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在中,则,同理，在等腰三角形中，,所以为等边三角形，所以与所成的角为，即与所成的角为，所以答案为C.考点：1.异面直线所成的角；2.三角形的中位线.8D【解析】由题意得在上分别取，使，过作，垂足分别为，则，故由于，故，从而，可得平面又平面，可得平面平面由于平面，所以平面，从而满足条件的有无数条选D9C【解析】 如图，在射线PA,PB,PC上分别取点A,B,C，使PA=PB=PC=1，则在三棱锥A-PBC中，所有的棱长都等于1取PA的中点M，连MB,MC，则有BMPA，CMPA，故BMC即为二面角BPAC的平面角在BMC中，BM=CM=32,BC=1，由余弦定理得cosBMC=(32)2+(32)2-1223232 =13，即二面角BPAC的余弦值为13选C10C【解析

7、】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体其中，侧面为正方形，D为BC的中点，BC=4由题意可得，解得选C11C【解析】试题分析：由于几何体为正三棱锥，所以O是等边三角形ABC的重心，分中线成2:1，取E为OC中点，由于D是PC中点，所以PE是直角三角形POC的中位线，所以DE=12PO,DE/PO,DE平面ABC，所以BDE为PO与BD所成角cosBDE=23,tanBDE=72=BE12h，所以BE=722h=144h，设底面边长为a，则EF=33a,BF=12a,BE=EF2+BF2=7a212，由7a212=144h解得a2=32h2，所以三棱锥的体积为1334a2h=31232h3=38h3.考点：三棱锥体积.【思路点晴】以客观题形式或作为解答题的一个构成部分考查常见几何体的表面积与体积，一般都是易题，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想，与三视图结合是主要命题形式.若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.由于本题题目所以的三棱锥是正三棱锥，所以顶点在底面射影是底面的中心.12A【解析】如图，在

8、中，由余弦定理得取CD的中点E，连BE,AE，则，且，故，所以，从而可得平面ACD设的外接圆的半径为，圆心为，则在上，由，可得，解得由题意得球心O在过点且与平面垂直的直线上，令，设，则由可得 ，解得设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积选A点睛：对于几何体的外接球的体积、表面积问题，解答的关键是求出球半径，解题时首先要确定球心的位置根据几何体的特征可得球心在过几何体底面多边形外接圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后根据球心到几何体各个定点的距离相等建立方程，解方程可得球半径，进而其他问题可得解13【解析】由三视图可得，该几何体是由上下两部分组合而成，其中上方为棱长是1的正方体；下方为两个棱长为1的正方体和一个底面为等腰直角三角形（直角边为1）高为1的直三棱柱故其体积为答案： 14【解析】以为原点， 为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，长方体中， ， 为上一点，且， 为的中点， 为 上动点，设 ，解得，故答案为：215322【解析】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形若把面ABB1A1和面B1C1CB展开在同一个平面内，则线段EF在直角三角形A1EF中，由勾股定理得EF=A1E2+A1F2=12+(322)2=222若把把面ABA1B1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，在直角三角形EFG中，由勾股定理得EF=EG2+GF2=(2)2+(1+22)2=72+2若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作两线交于点H，则EF在直角三角形EFH中，由勾股定理得EF=

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