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沈恒范_第四版_概率论与数理统计教材第2章习题答案

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常见问题

1、1,2.2 离散型随机变量,2.1 随机变量的概念,2.3 超几何分布二项分布泊松分布,1. “0-1”分布(两点分布),3. 二项分布,4. Poisson分布,2. 超几何分布,n ，,N，,(x = 0, 1, 2, , n),(x =0,1,2, ,),第二章随机变量及其分布,2,2.5 随机变量的分布函数,一.定义,二.分布函数的性质：,2.6 连续型随机变量的概率密度,一.概念,二、概率密度的性质：,(1)：,(2)：,(3)：,右连续的阶梯曲线.,(5) 对连续随机变量，是单调上升的连续曲线,3,2.7 均匀分布指数分布,一、均匀分布,二、指数分布,2.8 随机变量函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,特别地，若,为单调函数，则,4,2.9 二维随机变量的联合分布,1. 二维离散随机变量的联合概率分布,2. 二维随机变量的联合分布函数,3. 二维连续随机变量的联合概率密度,5,2.10 二维随机变量的边缘分布,一. 二维离散随机变量的边缘分布,二. 二维连续随机变量的边缘分布,2

2、.11 随机变量的独立性,一. 离散型随机变量的独立性,二. 连续随机变量的独立性,6,2.12 二维随机变量函数的分布,1. 和的分布,2. 平方和的分布,3.（独立的随机变量）最大值与最小值的分布,离散型,对于一切的,连续型,或,若X、Y 独立,若X、Y 独立,7,（二）课后习题略解,8,3. 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p，求射击次数的概率分布及其分布函数。,9,4,自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p (0p1),生产过程中出现废品时立即重新调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.,10,11,12,13,14,15,10. 在四位数学用表中，小数点后第四位数字是根据“四舍五入” 原则得到的，由此而产生的随机误差,服从怎样的概率分布？,解,所以X 的概率密度为,16,解,n = 2000 较大,且 p = 0.005 较小，,X 近似地服从泊松分布,11:,电子计算机内装有2000个同样的电子元件,每一电子元件,损坏的概率等于0.0005,若任意元件损坏时,计算机就停止工作,求计算机停止工作的概率.,设随机变量X表示损坏的电子元件数,则X服从

3、二项分布 B(2000,0.0005),17,18,19,(k = 0, 1, 2, , m),20,21,22,23,24,23,公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过, 乘客到达车站的任意时刻是等可能的, 求乘客候车时间不超过3分钟的概率.,解:,设随机变量X表示乘客到达车站后候车的时间,则:X 在0,5) 上服从均匀分布,其概率密度:,25,26,27,28,设随机变量 X 的概率密度为:,求下列随机变量函数的概率密度.,1),解: (1),28,解: (2),29,30,2),31,3),32,33,34,35,36,37,38,36,一批产品中有,a 件正品, b 件次品. 从中任意抽取一件,共取两次,抽样方式: (1) 放回抽样;(2) 不放回抽样.,二位随机变量 (X,Y) 的所有可能取值为:,解:,( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1,0 ), ( 1,1 ),设X,Y分别表示第一次及第二次取出的次品数,求两种情况下二维随机变量(X,Y)的联合概率分布,边缘分布,并说明X与Y是否独立.,39,1) 放回式:,P(X=0, Y=0 )=,P( X=0, Y=1

4、)=,P( X=1, Y=0 )=,P( X=1, Y=1 )=,40,X,Y独立.,1) 不放回式:,P(X=0, Y=0 )=,P( X=0, Y=1 )=,P( X=1, Y=0 )=,P( X=1, Y=1 )=,41,X,Y不独立.,42,43,38.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量X表示第一次出现的点数,Y表示两次出现的点数的最大值，求(X,Y)的概率分布及Y的边缘分布。,解,即,44,39. 设二维随机变量（X,Y）在矩形域,上服从均匀分布，求（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。,X与Y是否独立？,解,（X,Y）的概率密度,X边缘概率密度,Y边缘概率密度,X与Y是相互独立,45,41,设二维随机变量 (X ,Y)的联合概率密度:,求:1) 系数A, 2) (X,Y)的联合分布函数, 3) 边缘概率密度,4) (X,Y) 落在区域R: x 0, y 0 ,2x+3y 6 内的概率.,解:,1),46,2),0,3),47,3),0.,0.,48,42 设随机变量 X 与 Y 独立，X 在 0,2 服从均匀分布,Y 服从指数分布 e(2) ,求:1) 二维随机变量 (

5、X ,Y)的联合概率密度;,2)P(XY).,解:,则其概率密度:,又X 与 Y 独立，,所以(X,Y)的联合概率密度;,2)P(XY) =,y = x,49,43 设随机变量 X 与 Y 独立，并且都服从二项分布：,试证明它们的和 Z = X + Y 也服从二项分布。,解,因随机变量 X 与 Y 独立，,随机变量Z 的所有可能取值:k = 0,1, 2, 3, ,50,44,设随机变量 X,Y 相互独立,其概率密度分别为:,和,求随机变量 Z=X+Y 的概率密度,解,0,51,45:,设随机变量 X 与Y 独立，并且 X 在区间上服从,求:随机变量 Z=X+Y 的概率密度。,均匀分布:,Y 在区间上服从辛普森分布:,解,当时,52,当时,当时,当时,53,46:,在电子仪器中,为某个电子元件配置一个备用电子元件,设这两个电子元件的使用寿命X及Y分别服从指数分布:,当原有的元件损坏时,备用的即可接替使用.,求它们的使用寿命总和X+Y的概率密度.,( 考虑两种情形 ),解,设:Z = X + Y,由已知:,54,当时,当时 ,0.,0.,55,47:,56,57,48. 电子仪器由六个相互独立的部件,如图，设各个部件的使用寿命,服从相同的指数分布,求仪器使用寿命的概率密度。,组成，,解,各部件的使用寿命,的分布函数,先求三个并联组的寿命,的分布函数,58,再求仪器使用寿命Z 的分布函数,Z的分布函数,则:,的分布函数,

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