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力矩转动定律

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常见问题

1、1,问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？,圆盘静止不动,圆盘绕圆心转动,力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.,2,刚体绕 O z 轴旋转 , 力作用在刚体上点 P , 且,一力矩,在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .,对转轴 Z 的力矩,d : 力臂,矢量式,3,或,其中对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩,一力矩,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,4,3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,O,结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零.,5,mi,刚体可看成由 n 个质点组成，刚体绕固定轴Oz转动，刚体上每一质点都绕Oz轴作圆周运动。,讨论外力矩和角加速度之间的关系：,在刚体上取某一质点i，其质量为mi，绕Oz轴作半径为ri 的圆周运动。,质点i 受力情况如何？,质点i 受两种力作用，一种是外力Fi（合外力），另一种是刚体中其它质点作用的内力 fi（合内力）。,设：外力Fi 和内力 fi 均在与Oz轴垂直的同一平面内

2、。,二转动定律,6,由牛顿第二定律，质点 i 的动力学方程为：,以 Fit 和 fit 分别表示外力和合内力在质点轨道切向的分力，那么质点i 的沿切向的动力学方程为：,两边同乘以 ri ，得：,mi,7,式中：Fit ri 是合外力Fi 的对Oz轴的力矩；,对于刚体上所有的质点，可得：,fit ri是内力 fi 对Oz轴的力矩。,故上式左边为作用在质点i 上的外力矩与内力矩之和。,8,由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即,有：,转动定律,为刚体内所有质点所受的外力对转轴的力矩的代数和，即合力矩。,9,得：,对于绕定轴转动的刚体，J 为一恒量。,式中,转动定律,是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动惯量,10,牛顿第二定律是解决质点运动问题的基本定律。,转动定律与牛顿第二定律的比较：,转动定律,牛顿第二定律,转动定律是解决刚体绕定轴转动问题的基本方程。,它们的形式很相似：外力矩M和外力F相对应，角加速度与加速度a相对应，转动惯量J 与质量 m 相对应。,刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动

3、惯量成反比 .,11,转动惯量物理意义：转动惯性的量度.,质量连续分布刚体的转动惯量,dm 质量元,注意：转动惯量的大小与刚体的密度、几何形状及转轴的位置有关，一般都要通过实验确定，只有质量分布均匀，形状典型的刚体的转动惯量才可以通过计算求得.,三转动惯量,国际单位：kgm2,对质量离散分布刚体的转动惯量,12,平行轴定理,P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 .,质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 Jc，则对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量,例：圆盘对P 轴的转动惯量,（证明略）,13,哪种握法转动惯量大？,14,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,15,P96例1 一个半径为 R、质量为m的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有轻而细绳索，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体。忽略轴处摩擦，求物体 m下落时的加速度、绳中的张力和滑轮的角加速度。,解：,受力分析,运动分析,建立坐标系,注：转动（顺时针）和平动的坐标取向要一致.,列方程,对物体m，列牛顿方程,对滑轮m，根据转动定律，有,16,解得,另有,17,P97例2 有一

4、半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试问经过多长时间圆盘才停止转动?,在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩大小,刹车片,解：,18,面积微元所受摩擦力矩,圆盘所受摩擦力矩,以顺时针方向为正,由转动定律可得圆盘角加速度,停止转动需时,19,P98例3 一长为 l 质量为 m的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.,解：,和铰链对细杆的约束力,受力：细杆受重力,由转动定律得,式中,20,得,得,21,本节小结：,刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比 .,刚体对轴的转动惯量,本节结束,一、力矩,二、转动定律,三、转动惯量,四、平行轴定理,J

5、JCmd2,22,*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角= 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间?,物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和相对质心的滚动两种运动合成.,解：,23,质心运动方程,转动定律,角量、线量关系,圆柱,薄壁圆柱筒,24,圆柱,薄圆柱筒,由匀变速直线运动公式，可得,圆柱,薄圆柱筒,圆柱比圆筒先到达底部.,25,补充例题一个飞轮的质量 m60kg，半径为R0.25m，正在以01000r/min的转速转动，现在要制动飞轮，要求在 t 5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为k0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上，转动惯量为JmR2。,解：,飞轮制动时受力如图，（接头处受力不考虑）,以0为正方向,飞轮的角加速度为,负值表示与0的方向相反。,26,由刚体转动定律,其中,得,

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