数字信号处理 教学课件 ppt 作者 杨毅明 2012版 第8章 有限脉冲响应滤波器的设计

1、有限脉冲响应滤波器的单位脉冲响应长度是有限的，它的差分方程或输入输出方程是 其输出没有反馈。有限脉冲响应滤波器的系统函数是 其系统函数的分母为1。故设计有限脉冲响应滤波器不适合采用无限脉冲响应滤波器的设计方法。,第8章 有限脉冲响应滤波器的设计,(8.1),(8.2),从有限脉冲响应滤波器的差分方程(8.1)和系统函数(8.2)来看，有限脉冲响应滤波器具有3个主要优点：（1）系统肯定是稳定的， （2）容易得到因果系统， （3）能获得线性相位的性能。 正是由于有限脉冲响应滤波器的这些特殊性，在设计有限脉冲响应滤波器时，一般使用另一种频谱表示法。 8.1 系统频谱的本质 单位脉冲响应代表系统的性能，也代表系统，其系统函数和系统频谱都是系统的一种描述，都代表系统，它们之间的关系是复数z和虚指数ej的关系。,8.1.1 系统频谱的含意 不管是信号还是单位脉冲响应，它们的傅里叶变换都是复数，可以用实部和虚部来表示，也可以用幅度和相位来表示， 极坐标方式能够直观地体现正弦成分的幅度和初始相位。从显示信号的正弦波成分方面来看， 该方程表示合成序列x(n)的正弦波成分是,(8.3),(8.4),(8.

2、5),改写正弦成分的总相位， 频谱相位和时间的关系就显现出来了：相位除以角频率的商具有时间的概念。如果argX()0，表示这个频率的正弦波将沿着时序轴n向右移位，这种现象叫做延时。 除了信号频谱的意义外，作为处理信号的系统频谱H()还有另一层的意义，这层意义就是：系统会按照系统频谱H()的幅度改变信号成分的大小，并且按照系统频谱H()的相位改变信号成分的初始位置。,(8.6),从系统函数来看，根据卷积定理(3.132)， 它表示信号x(n)经过线性时不变系统h(n)处理后得到信号y(n)，而y(n)的频谱Y()幅度按照H()的幅度改变，y(n)的频谱Y()初始位置按照H()的相位改变。 如果|H()|1，则输入的正弦波成分将被系统减弱；如果argH()0，则表示输入的正弦波经过系统后相位滞后了。,(8.7),(8.8),从单位脉冲响应来看，假设输入信号是幅度为A和初始相位为的正弦波， 经过线性时不变系统h(n)处理后的信号是 其频率与输入x(n)的相同。,(8.9),(8.10),8.1.2 系统的延时 系统处理信号总是需要时间的。这是系统的延时。数学上将信号x(n)经过系统延时后得到

3、的信号y(n)写成 这种延时的信号y(n)与原来的信号x(n)的变化规律相同，不存在失真。 假设线性时不变系统的|H()|=r为常数，输入信号是典型正弦波，则该系统的输出 它与x(n)的幅度比例r不随时序n变化，而y(n)和x(n)的,(8.11),(8.12),相位存在时序差别/。这个差别就是系统对频率是的输入正弦波的延时。 系统的相位与输入正弦波的频率有关，同理，系统的延时也与输入正弦波的频率有关。 （1）如果系统函数的相位与角频率成正比，即 它是一条过原点的直线，并且系统的|H()|=r，r是常数，则这种系统对于典型正弦波(8.9)的输出将是 它对任何输入频率的延时都是相同的，延时量=-a。这种相位与频率成正比的系统，对于由许多频率分量组成的输入信号来说不会产生失真。,(8.13),(8.14),（2）如果系统函数的相位是角频率的普通直线方程，不一定是过原点的直线，即 系统的|H()|=r，r是常数，则典型正弦波(8.9)经过这种系统后将变为 由于延时项=-(a+b/)与角频率有关，普通直线相位系统的输出y(n)对不同频率的输入将产生不同的延时。这种系统对于输入信号可能会产生失真

4、。 不过，在实际的通信系统中，在我们感兴趣的频带内的信号成分的延时相同，我们的通信就不会失真。,(8.15),(8.16),下面以调幅波为例，说明普通直线相位系统对无线电信号所产生的影响。 为了直观，现在把典型的正弦波(8.9)用我们熟悉的实数形式表示， 它输入直线相位和常数幅度的系统得到的输出(8.16)也用实数形式表示， 考虑给这种系统输入一个简单的抑制载波的双边带调幅波，即,(8.17),(8.18),(8.19),根据三角函数和差积的关系，将x(n)变为两个分量， 根据线性系统的叠加性质和公式(8.18)，该系统输出 对比输入信号(8.19)和输出信号(8.20)，可知直线相位系统对这种窄带信号x(n)产生两种影响：一是滞后频率是c的载波cos(cn)；二是滞后调制在载波上的频率是s的信号cos(sn)，但是这种滞后并没有使传输的信号cos(sn)发生波形失真。,(8.19),(8.20),8.2 有限脉冲响应滤波器的频谱 有限脉冲响应滤波器能够获得线性相位或直线相位。线性相位系统的好处是它不会改变有用信号的波形。 8.2.1 有限脉冲响应滤波器的频谱表示法 一般线性相位也叫做

5、直线相位，线性相位系统的相频特性是 为了方便设计有限脉冲响应滤波器，可用另一种表示频谱的方法： 这种表示法的A()是实数，叫做幅度函数。,(8.28),(8.29),实数的幅度函数可以方便我们分析和设计有限脉冲响应滤波器。 我们需要的线性相位的选频滤波器有低通、带通、高通等滤波器，它们的频谱幅度在有用信号的频段内为常数或者为1，在没用信号的频段内为0。在设计这种分段常数幅度的选频滤波器时，只要能保证在有用频段的系统相位是线性的，一般来说，它们选出的有用信号就不会失真。如何让有限脉冲响应滤波器成为线性相位的呢？,8.2.2 实现线性相位的方法 线性相位的有限脉冲响应滤波器有两种：一种是相位直线过零点的，另一种是相位直线不过零点的。 （1）相位直线过零点的滤波器 如果我们让有限脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满足偶对称条件，即 那么，该系统的相位函数将是一条过零点的直线，即 这种线性相位称为第一类线性相位，它的群延时a等于该系统脉冲响应的对称点。,(8.30),(8.31),让我们从离散时间的傅里叶变换来看这个问题，由于因果系统的频谱为 根据有限长脉冲响应的偶对称条件(8.30)，公式(

6、8.32)也可以写为,(8.32),(8.33),合并上面两个频谱公式， 或者将它写成,(8.34),(8.35),这个偶对称脉冲响应的频谱说明：只要h(n)是实数的，那么，它的幅度函数 也是实数的，并代表系统的幅度响应；这种系统的相位函数 是一条过零点的直线，是线性相位的。 （2）相位直线不过零点的滤波器 如果我们让有限长脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满足奇对称条件,(8.36),(8.37),那么，该系统的相位函数将是一条不过零点的直线，即 这种线性相位称为第二类线性相位，它的群延时a等于该系统脉冲响应的对称点。 有限脉冲响应滤波器的对称关系对设计线性相位滤波器是很有用的，我们可以根据线性相位的要求来确定h(n)的对称关系，降低设计时推算脉冲响应h(n)的工作量。,(8.38),(8.39),8.2.3 线性相位滤波器的幅度特性 线性相位滤波器的幅度函数具有某种对称性，这些特性有助于我们设计有限脉冲响应滤波器。 对于因果系统的有限脉冲响应滤波器来说，它的对称位置比较特殊：由于有限长滤波器h(n)的有效时序在n=0N-1，所以它的对称点不在n=0。如果函数A()的对称中心位置是在

7、=a的话，那么它的偶对称数学表达式将是 同理，A()关于=a的奇对称数学表达式将是,(8.45),(8.46),根据相位函数的直线是否过零点，线性相位分为第一类线性相位和第二类线性相位，两者的幅度函数A()各有特点，如表8.1所示。,表8.1,幅度函数的对称性证明，只要从幅度函数(8.36)和(8.43)出发，利用余弦函数和正弦函数的特点，事情就迎刃而解了。下面举两个例子。 （1）奇数长度的第一类线性相位系统 从第一类线性相位的幅度函数(8.36)出发，按照对称位置在=的写法，参照公式(8.45)和(8.46)，用2-替换公式(8.36)中的，得到,(8.47),将它与公式(8.45)对比就知道，第一类线性相位的幅度函数在奇数N时对于=是偶对称的。 （2）偶数长度的第二类线性相位系统 从第二类线性相位的幅度函数(8.43)出发，按照对称位置在=的写法，参照公式(8.45)和(8.46)，用2-替换公式(8.43)中的，就可以得到 将它与公式(8.45)对比你就知道，第二类线性相位的幅度函数在偶数N时是关于=的偶对称。 有限脉冲响应滤波器的长度N和幅度函数的对称性都很重要，如果能巧妙地运

8、用表8.1所列的特性，就可以提高设计选频滤波器的效率，避免盲目设计。,(8.48),8.3 在时域设计滤波器 从一个无限长序列中截取一段，就像裁剪一块布，当然，不同的“裁法”将会得到不同的频谱。 8.3.1 截取一段序列 这种方法叫窗口设计法，其原理是：首先，求出希望得到的选频滤波器的单位脉冲响应hd(n)；然后，截取其中数值较大的一段作为我们需要的滤波器序列，并设法使它符合因果关系。 例题8.3 某矿山的探测设备需要一个数字FIR低通滤波器，它的截止频率c=0.2，长度N=21。请用矩形窗设计这个低通滤波器，要求该滤波器的相位是线性的。,解 根据表8.1，奇数N的低通滤波器频谱只能是第一类线性相位的，它的幅度函数在角频率=0的地方呈偶对称。考虑到作为设计模型的理想滤波器相位是否是零，下面介绍两种设计方法。 （1）理想滤波器的相位不为零 在角频率的主值区间-, )，理想低通模型的频率响应 根据长度N=21和公式(8.31)，选择群延时a=(N-1)/2=10。其相位函数d()的直线只需在通带上定义。,(8.50),根据离散时间的傅里叶反变换(3.81)和频谱(8.50)，在主值区间计算

9、理想模型的单位脉冲响应，得到 它是无限长的非因果序列，对称中心在n=10的地方。 根据题目N=21的要求，截取hd(n)数值较大的n=020这一段作为我们需要的因果序列，,(8.51),图8.7,相当于hd(n)乘上矩形窗R21(n)，即 相当于用剪刀从hd(n)的n=0和n=20两个地方直接剪下去。图8.7右图是用矩形窗截取hd(n)的效果，h(n)在n=10的左右偶对称，满足第一类线性相位的条件。这个滤波器h(n)的频谱H()可用幅度函数A()和相位函数()描述，,(8.52),幅度函数A()的数值在通带内近似等于1，有些像理想的幅度函数Ad()；滤波器h(n)的相位函数()是过原点的直线。造成实际频谱H()和理想频谱Hd()之间差别的原因是：实际的h(n)只是理想的hd(n)的一段。,图8.8,（2）理想滤波器的相位为零 在角频率的主值区间-, )的理想频谱 根据离散时间的傅里叶反变换(3.81)，零相位的理想低通模型(8.53)的单位脉冲响应 它的波形如图8.9左图所示，对称中心在n=0。为了得到有限长的因果线性相位滤波器h(n)，,(8.53),(8.54),可以直接剪下hd(n)的n=-1010的最大数值部分，它的长度N=21点。减下的部分还要向右移动a=(N-1)/2=10点，使它成为因果序列。这个结果的数学表达式是 它就是按题目要求

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