数字信号处理 第2版 教学课件 ppt 作者 张小虹 8数字信号处理4
48页1、即输入x(n),输出为X(k),分别讨论DFT与FFT运算及系,8.5 DFT与FFT的有限字长影响,DFT与FFT在数字滤波器、频谱分析中应用广泛,了解,DFT有限字长影响很重要,不过要精确分析是很困难的,,只对选择所需要寄存器长度的简化分析就足以。分析时,为方便要做许多假设,也采用输入、输出方式进行分析,,数量化误差的影响。,8.5.1、DFT直接定点舍入计算误差分析,DFT定义为,的作用相当于单位脉冲响应,,的运算流图如图所示。,无限精度下第k个X(k)值,X(k),的分析类似,将每次舍入误差等效为一个噪声源,此时,第k个X(k)值的等效,统计模型如图所示。,上图 X(k) 是无限精度下第 k个 X (k) 值的运算结果,,k个X (k) 值运算结果的误差。由图8.5-2可见,各误差,直接加至输出端,因此总的误差输出为,有限精度运算下的输出为,(8.5-2),(8.5-3),法是由四次实数乘法实现的,因此一次复数乘法会产,生四次误差,即,(8.5-4),为了简化计算对输出噪声F (k) 方差的计算,对i(n,k),(1)所有误差i(n,k)是平稳的零均值白噪声序列;在,(i=14
2、) 的统计特性作如下假设:,(2)各i (n,k)噪声源彼此不相关;且某一次复乘的四个,误差源与其他复乘的噪声源互不相关;,(3)各误差i(n,k)与输入 x(n)不相关,从而与输出 X (k),也不相关。,复乘误差的模平方为,(8.5-5),由于各i(n,k)噪声源彼此不相关,则, (n,k) =1(n,k)+ 2(n,k)2+3(n,k) 4(n,k)2,由得到输出噪声F(k)方差(噪声功率)为,(8.5-6),与FIR系统直接型相同,输出噪声的方差正比于N。,由于定点运算受到动态范围的限制,要防止X(k)溢出,,因此要求,(8.5-7),再由上式可得出输出不溢出的充分条件为,即输入只要乘以1/N因子,就可保证 X (k) 不溢出。,=Nxmax1,假设输入 x(n) 是在1/N 1/N之间均匀分布的白色随机,(8.5-9),信号,输入信号的方差为,输出信号的方差为,(8.5-10),输出噪信比为,上式表明噪信比与N2 成正比,即N增加一倍时,为了保,持噪信比不变或运算精度不变,字长必须要增加1位。,(8.5-11),= N 2 22b,8.5.2、FFT定点舍入计算误差分析,1、
3、输出噪信比,以基2、时选法为例,分析定点舍入的运算误差,其他,FFT算法的误差分析可作相应修改。,N=2M 点的基2、时选FFT分为M级,每级有N/2各碟形,,表示由m列到m+1列的基本,计模型如图所示,蝶形定点舍入运算的统,图中基本蝶形节点的下标,m+1=M表示输出序列X(k)。,由图可见,每个基本蝶形有一次复数乘法,产生一个误,差源 (m,j)。该误差源与DFT分析中的误差源具有相同,的统计特性,所以一次复数乘法引入误差的方差为,(8.5-12),m=0 表示输入序列x(n),,传输到输出端时方差不会变化。,因此各误差源 (m,j)通过后级碟形时,即误差从源头,=E| (m,j) |2,定点的加法运算无误差,不影响方差;并且,计算从输入端到输出端所涉及的蝶形数量即可。,图8.5-4 是N=8点的FFT时选流图,图中红粗线条标明,要计算第k个X(k)值运算结果的总输出误差F(k),只要,了与X(3)计算相关的蝶形。,第(1)级4个蝶形,第(2)级2个蝶形,第(3)级1个蝶形,第一级四个。,由图可见与X(3)有关的蝶形:第三级一个;第二级两个;,F (3) =7 (m, j),1+2+
4、22=7 个,输出噪声源,输出噪声方差,一共有碟形,EF(3) 2 = 7q2 /3 = 722b /3,由此可以类推N=2M点时噪声输出的一般情况,共有M级,1 + 2 + 22 +2M-1 = 2M 1 = N 1 (8.5-13),蝶形,与第k个X(k)有关的蝶形:M(末级)级1个;M1,级(末前级) 2 个;M2级 4 个;,,总共有碟形,总的输出噪声方差,当N很大时,(8.5-14),由图8.5-3的可见蝶形的运算关系为,(8.5-15),由上式可以得到,=|Xm(i)|+ |Xm(j)|,(8.5-16),2max|Xm(i)|, |Xm(j)| ,入的两倍。一个N点FFT有M=log2N级蝶形,所以FFT,这说明,蝶形结的输出最大值不超过,但有可能为输,的最后输出不超过,但有可能为输入的N=2M倍。即,maxX(k) 2Mmax x(n)=N maxx(n),(8.5-18),若要保证|X(k)|不溢出,即max|X(k)|1 ,要求,|x(n)| 1/N (0nN 1) (8.5-17),假设信号是在1/N1/N之间均匀等概分布的白色随机,信号,其方差为,max|X(k
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