一元函数微分学总结

1、,二、典型例题分析与解答,第二、三章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数微分学总结,一、知识点与考点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、知识点与考点,(一)导数与微分,若令,1.导数定义:,则,2.左右导数:,左导数:,右导数:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导函数简称导数,且有,函数 y = f (x) 在点,4.导数的几何意义:,处的导数,表示曲线y = f (x)在点,处的切线斜率.,即有,曲线的切线方程为,3.导函数的定义:,曲线的法线方程为, 是 x0时比x 高阶的无,穷小量,并称Ax为f (x)在,其中A是与x 无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+ ,则称 y = f (x) 在点 x 处可微 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记为dy ,即dy=Ax .,5.微分的定义:,由于x=dx ,所以,6.微分的几何意义:,点 x 处的微分,当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标,的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.,7.基本定理,定理1(导数存在的判定定理),定理2(函数可导与连续的关系),机动 目录 上页 下页 返回 结束,可导函数必连

2、续,但连续函数未必可导.,可导,定理4.(函数与其反函数的导数的关系),可微,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,定理3.(函数一阶可导与可微的关系),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(5),(6),(7),设,及,(4),均为可导函数,则复合函数,可导,且,或,(微分形式不变性),8.运算法则,(1),(3),(2),9.基本初等函数的导数与微分公式,(3),(1),(2),(4),(8),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(5),(6),(7),(9),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(10),(11),(14),(15),(12),(13),(16),(17),10.高阶导数,例1. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11.方程确定的隐函数的导数,例2.设函数 y= y (x) 由方程,确定,求,解法1:,方程两边对x 求导数得:,解得,方程两边微分得:,解法2:,解得:,12.参数方程确定的函数的导数,例3. 设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,13.对数求导法:,求“幂指函数”及多个因子相乘除

3、函数,的导数时用对数求导法.,解法1:,取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等式两边对 x 求导数:,则有:,例4. 设,解法2:,作指数对数恒等变形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,则有,解,取对数,等式两边对 x 求导数:,(二) 中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.罗尔定理,(1)在闭区间a , b上连续;,(3) 且 f (a) = f (b) ;,成立.,(2)在开区间(a , b)内可导;,若函数 f (x) 满足条件:,则在开区间(a , b)内至少存在一点 使,2.拉格朗日中值定理,若函数 f (x) 满足条件:,(1)在闭区间a , b上连续;,(2)在开区间(a , b)内可导;,则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式,3. 柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,成立.,若函数 f (x) ,F (x) 满足条件:,(1)在闭区间a , b上连续;,(2)在开区间(a , b)内可导且,则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式,(三)导数的应用,定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导,1.

4、函数的单调性,若对,都有,则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) .,2.函数的极值,设函数 f (x) 在,内有定义,x 为该邻域内异于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的任意一点,若恒有,(或,则称,为 f (x) 在该邻域的极大(小)值.,极大值与极小值,统称为函数的极值,方程,使函数取得极值的点称为极值点.,定理2. (函数取得极值的必要条件),的根称为函数 f (x) 的驻点.,则有,设函数 f (x)在点,处可导,(可导函数的极值点必为驻点),且在该点处取得极值,定理3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(函数取得极值的第一充分条件),设函数 f (x)在,内可导,(或 f (x)在点,处连续但不可导).,(1) 若当x 由左至右经过,时,由“+”变“”,则,为函数的极大值.,(2)若当x由左至右经过,时,由“-”变“+”,(3) 若当x由左至右经过,为函数的极小值.,则,则,不变号,不是,时,函数的极值.,定理4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(函数取得极值的第二充分条件),设函数 f (x)在,处,(1) 若,则,为函数 f (x)的极大值.,(2

5、) 若,则,为函数 f (x)的极小值.,3.函数的最值,求连续函数 f (x)在a , b上的最值的步骤:,(1).求 f (x)在(a , b) 内的驻点及导数不存在的点;,(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;,(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,最小者为,最大值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,恒有,(弧在弦的下方),(或,则称曲线,f (x)在(a , b)内为凹(凸)弧.,曲线上凹弧与凸弧的分界,点,4.函数曲线的凹凸性和拐点,设函数 f (x)在(a , b)内连续,若对于(a , b)内任意两点,(弧在弦的上方),称为曲线的拐点.,定理1.(曲线凹凸性的判定定理),若在(a , b)上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则曲线 y = f (x) 在,当x 自左至右经过,定理2.(曲线拐点的判定定理),若在,处,时,变号,则,是曲线y = f (x) 的拐点.,(a , b) 上为凹(凸)弧.,二典型例题分析与解答,应填1.,已知,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,注释:,本题考查导数的定义.,例6.,解:,由,由,再代入(1)得,例

6、8.,设f (x)可导,则,是F (x)在x=0可导的( ).,(A) 充分必要条件 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(B) 充分条件但非必要条件;,(C) 必要条件但非充分条件;,解:,直接计算解此题.,由于,A,(D) 既非充分条件又非必要条件.,而f (x)可导,所以F (x)的可导性与,的可导性相同.,故选项(A)正确., (x)在 x = 0 处可导的充分必要条件是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,即f (0) = 0 .,本题考查函数在一点处可导的充要条件.,令,由导数的定义知,解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.,例9,曲线,在点(0,1)处的切线方程,是_.,曲线在点(0,1)的切线方程为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,两边对x求导得:,即为,将 x = 0, y = 1 代入式得:,本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.,例10 设函数,由方程,确定,求,解 由,由原方程得,代入(1)得,再将,代入(2)得,注释,本题考查求隐函数在一点处的一阶、二阶导数.,注意求导数时,不必写出导函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

7、例11 证明方程,在(0,1)内至少有一实根,分析,如令,不便使用介值定理,用 Rolle 定理来证,证,令,则,且,故由Rolle 定理知,例12.,处( ).,设y=f (x)是方程,则函数f (x)在点,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(C) 某邻域内单调增加;,(B) 取得极小值;,的一个解,(A) 取得极大值;,解:,(D) 某邻域内单调减少.,由于y = f (x) 是方程,的一个解,所以有,即有,将,代入上式得,所以函数f (x)在点,处取得极大值.,A,选项(A)正确.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,且,设 f (x)有二阶连续导数,则( ).,(A) f (0) 是 f (x)的极大值;,(B) f (0) 是 f (x)的极小值;,(C) (0,f (0) )是曲线y= f (x)的拐点;,(D) f (0)不是 f (x) 的极值点,(0,f (0) )也不是曲线,y= f (x)的拐点.,解:,由于,由极限的保号性知存在 x= 0的,某去心邻域,在此邻域内有,即有,B,即有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,当x 0时,函数 f

8、(x)单调减.,当x 0时,由极值的第一充分条件知 f (x)在 x = 0 处取得极小值.,即有,又由极限的保号性有,注释:,本题考查极限的保号性和极值的判定法则.,函数 f (x)单调增.,故选项(B)正确.,例14.,由于x =1 是 (x)在(0,+),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 (x) 在x=1处取得极小值.,又 (1) = 0 ,即,则当x 0 时,则 (x) 在x=1处取得区间(0,+),试证:当x 0 时,证:,令,易知 (1) = 0 .,内的唯一的极小值点,上的最小值.,证毕.,例15.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法一,原式=,则,注释:,本题考查洛必达法则求未定式极限.,由于x0时,解法二,原式=,解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则.,例16.,原式=,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查洛必达法则求未定式极限.,应填,解题过程,中应特别注意应用无穷小代换以简化计算.,填空题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17,已知,在,解:,由题,求,处可导,在,处连续，,则,即,且,考虑,(08-09, 三(1),例18. 求数列,的最大项 .,证: 设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值 .,又因,中的最大项 .,极大值,列表判别:,例19.,(1)存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试证明:,(1) 令,且,则 (x) 在0,1上连续,使得,已知函数 f (x) 在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 .,(2)存在两个不同的点,证:,所以存在,使得,使得,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,证毕.,本题(2)考查拉格朗日中值定理的应用.,本题(1)考查连续函数零点定理的应用;,(2) 由拉格朗日中值定理,存在,

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