信号与系统——信号分析与处理 上册 教学课件 ppt 作者 程耕国 第2章

1、1,第2章 时域连续信号的频域分析,引言 2.1 信号的正交分解 2.2 周期信号的频谱分析傅里叶级数 2.3 非周期信号的频谱分析傅里叶变换 2.4 傅里叶变换的基本性质 2.5 周期信号的傅里叶变换 2.6时域采样定理 2.7小结,2,引言,信号具有时域特性和频域特性，本章讨论信号的频域特性，其目的之一是掌握信号频域特性的分析，二是为系统的频域分析方法作准备。从本章开始由时域转入变换域分析，频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,3,2.1 信号的正交分解,由上一章的讨论可知，连续时间信号可以表示为基本信号的线性组合，其基本信号为阶跃信号或冲激信号。这种分解不仅是信号分析所需要的，同时，也对求解连续信号通过线性时不变系统的零状态响应带来方便。 信号分解的方法并不是唯一的，本章将介绍信号的另一种分解形式，即将连续信号分解为一系列的正交函数，各正交函数属于一完备的正交函数集。,4,2.1.1 正交函数集,图2-1 (a) 平面矢量分解,如令 为各相应方向的正交单

2、位矢量。 可写为 ：,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。譬如，在平面上的矢量 在直角坐标中可以分解为x方向分量和y方向分量 。,5,对于一个三维空间的矢量 可以用一个三维正交矢量集的分量组合表示，可写为：,图2-1 (b) 空间矢量分解,正交函数集,6,正交函数集,空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，要信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号可表示成它们的线性组合。,定义在,区间内的两个函数,和,若满足:,则称 和 在区间内 正交 。,7,正交函数集,为一常数。,对于实变函数，上式可简化为：,若 个函数 构成一个函数集，当这些函数在区间内 满足：,8,正交函数集,则称此函数集为在区间上的正交函数集。在区间 内相互正交的n个函数构成正交信号空间。,如果在正交函数集 之外，不存在任何函数 满足：,则称此函数集为完备正交函数集。,9,正交函数集,即 与函数集 的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然不包含 的集是不完备的。,例如：三角函数集 和虚指数函数集 是两组典型的在区间 上的完备正交函数集。,10,正交函数集,因为,1

3、1,正交函数集,对于所有的,和,12,2.1.2 信号的正交分解,设有 个函数 在区间上 构成一个正交函数集，将任一函数 用这 个正交函数的线性组合来近似，可以表示为：,显然，应选取系数 使得实际函数与近似函数之间误差在区间 内最小。,13,信号的正交分解,这里“误差最小”不是指平均误差最小，因为平均误差很小甚至等于零时，也可能出现较大的正误差与较大的负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的均方值最小。,误差的均方值也称为均方误差，用符号 表示：,14,信号的正交分解,即,展开上式的被积函数，因为不同的正交函数相乘的各项其积分均为零，且所有不包含 的各项对 求导也等于零。上式可化简为：,15,信号的正交分解,交换微分与积分次序，得,于是可求得,16,信号的正交分解,若为复函数集,则为,17,2.2 周期信号的频谱分析傅里叶级数,早在18世纪中叶，丹尼尔.伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和。,这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为 的函数 ，都可用一系列以为 周期的正弦函数所组成的级

4、数来表示，即：,18,2.2.1 三角形式的傅里叶级数,十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：任意函数都可以展成三角级数。,周期信号 ，周期为 ，基波角频率为 ， 满足狄里赫利条件时，可展成：,称为三角形式的傅里叶级数 。,19,傅里叶级数,由正、余弦正交条件，可得傅里叶系数：,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,20,傅里叶级数,可见，傅里叶系数 和 都是 (或 )的函数。其中 是 (或 )的偶函数，即有： = 。 是 (或 )的奇函数，即有： =- 。在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求。,根据三角函数的运算法则，上式可写成如下形式：,21,傅里叶级数,其中,22,傅里叶级数,上式表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号可分解为直流和许多余弦(或正弦)分量。,其中第一项 是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；,第二项 为基波或一次谐波，它的角频率 与原信号相同， 是基波振幅， 是基波初相角；,称为 次谐波， 是 次谐波振幅， 是 次谐波初相角。,23,傅里叶级数,周期信号傅里叶级数的物理意义在于： 周期信号可以分解为一个直流分量

5、与许多谐波分量之加权和。,是对信号 中的每一个谐波分量的大小作出的度量，称为傅里叶级数的系数或频谱系数(或称为加权系数)。针对不同的信号，其 不一样，则频谱图不同。,频谱图绘出了信号的频谱特性，如信号由那些谐波分量构成；分量的大小，分布等信息。它与信号的时域波形表示是等价的。,24,傅里叶级数,例2-1 试将图2-2所示的方波信号 展开为傅里叶级数。,解：,25,傅里叶级数,26,傅里叶级数,27,傅里叶级数,最高谐波次数=3,最高谐波次数=9,最高谐波次数=35,28,傅里叶级数,可以看到，合成波形所包含的谐波分量愈多时，除间断点附近外，它愈接近于原方波信号。在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。 可以证明(见理想低通滤波器的响应)，既使合成波形所含谐波次数，在间断点处仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象。,29,2.2.2 指数形式的傅里叶级数,利用欧拉公式,式,可表示为：,30,傅里叶级数,将上式第三项中的 用 代换，并考虑 是 (或 )的偶函数， = ， 是 (或 )的奇函数， =- 。则上式可写成：,31,

6、傅里叶级数,将 写成 ， ，则上式可写成,32,傅里叶级数,令复向量 ，称为复傅里叶系数。则得到傅里叶级数的复数形式,意义：任意周期信号 可分解为许多不同频率的复指数 之加权和，其各分量的复数幅度或相量(或称为复加权系数)为 。,33,傅里叶级数,下面综合一下三角函数型和指数型傅里叶系数之间的关系,34,傅里叶级数,35,傅里叶级数,由于,36,傅里叶级数,从而有,上式表明，只要给定周期信号 ，则复系数 可以在一个周期内积分确定，继而可写出复指数形式的傅里叶级数。,37,傅里叶级数,上两式是表示周期信号傅里叶级数的一对重要关系。,38,傅里叶级数,可以看出周期信号的三角函数型和指数型傅里叶形式只是同一信号的两种不同表示方法。前者为实数形式，后者为复数形式，都是把周期信号表示为不同频率的各分量之和。,39,2.2.3信号的性质与傅里叶系数之间的关系,若给定的信号具有某种特点，那么，其傅里叶系数的有些值将等于零，从而使傅里叶系数的计算较为方便。,1. 为偶对称信号,此时波形相对于纵轴是对称的，称为偶对称信号。,=,40,傅里叶系数,由于 是偶函数， 是奇函数。有,偶对称信号的傅里叶级数中不

7、包含正弦项，只可能有直流项和余弦项。,其傅里叶复系数为,41,傅里叶系数,2. 为奇对称信号,此时波形相对于原点是对称的，称为奇对称信号。,=,42,傅里叶系数,由于 是奇函数， 是偶函数。,偶对称信号的傅里叶级数中不包含直流项和余弦项，只可能有正弦项。,其傅里叶复系数为,43,傅里叶系数,3. 为奇谐信号,信号的前半周期波形沿时间轴平移半个周期后，与后半周期波形对称于横轴。,=,称此信号为奇谐信号，或半周镜像对称信号，或半波信号。,44,傅里叶系数,只有当 为奇数时， 才存在。即半波对称信号的傅里叶级数中，只有奇次谐波项，不存在偶次谐波项。,当 时:,当 时:,45,傅里叶系数,4. 为偶谐信号,信号的前半周期波形沿时间轴平移半个周期后，与后半周期波形重合。,=,称此信号为偶谐信号，或半周重叠对称信号号。,46,傅里叶系数,偶谐信号的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量。,当 时:,当 时:,47,2.2.4 周期信号的频谱,1频谱的概念,如前所述，周期信号可以分解成一系列余弦或虚指数信号的加权和，为了直观地表示信号所含各分量的振幅，以频率(或角频率)为横坐标，以各谐波的振幅 或虚

8、指数信号的幅度| |为纵坐标，画出的图形，称之为幅度(或振幅)频谱，简称幅度谱。,48,频谱的概念,(a) 单边幅度谱,(b) 双边幅度谱,(c) 单边相位谱,(d) 双边相位谱,49,频谱的概念,信号分解为各余弦分量，图中每一条谱线表示该次谐波的振幅， 是曲线谱。只有正频率出现，称之为单边幅度谱。,信号分解为各虚指数信号分量，图中每一条谱线表示各分量的幅度 ， 是曲线谱。正负频率均出现，称之为双边幅度谱。,50,2 周期矩形信号的频谱,1）周期矩形信号,例2-2 设有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期为 ，求其傅里叶系数。,51,周期矩形信号的频谱,，上式可写为,52,周期矩形信号的频谱,如令：,称之为取样函数。它是偶函数，当 时， 。,则,53,周期矩形信号的频谱,该周期矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为,54,周期矩形信号的频谱,2）频谱图,(a) 周期矩形脉冲信号的三角形式频谱图,(b) 周期矩形脉冲信号的指数形式频谱图,55,周期矩形信号的频谱,(c) 周期矩形脉冲信号的三角形式幅频,(d) 周期矩形脉冲信号的指数形式幅频,(e) 周期矩形脉冲信号的三角形式相频,(f) 周期矩形脉冲信号的指数形式相频,56,3）周期矩形脉冲频谱的特点：,（1）其频谱是离散的，谱线只出现在基波频率 的整数倍频率(即各次谐波频率)上。,谱线的间隔为 ( )，谱线间隔与脉冲重复周期 成反比， 愈大，谱线愈密集。,（2）直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉冲幅度和脉冲宽度 ，反比于周期 。,各谱线的幅度包络线按取样函数 的规律变化。,57,周期矩形脉冲频谱的特点,过零点的坐标有,即,58,周期矩形脉冲频谱的特点,（3） 频率 从0到第一个零值点之间，或任意两个相邻的零值点之间的谱线条数是与信号的脉宽和周期的比值有关。,规律如下：若 ，则频率 从0到第一个零值点之间或任意两个相邻的零值点之间就有条 谱线。,59,周期矩形脉冲频谱的特点,（4） 周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线。也就是说，它可以分解成无穷多个频率分量。随着频率的增高，谱线幅度变化的总趋势收敛于零。但主要能量集中在第一个零值点之内。,频带宽度,把 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度，记作 (或 )和 (或 ) 。,

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