应用数学 教学课件 ppt 作者 河南机电学校 第四章　指数函数和对数函数

1、应用数学,主编:河南机电学校基础部,第四章 指数函数和对数函数,第一节 指 数 幂,在初中我们已经学习了整数指数幂的概念： 正整数指数幂 零指数幂 负整数指数幂 整数指数幂有下面的运算性质：,一、根式 我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. 一般地，如果一个数的n次方等于a(n1，且nN*)，那么这个数叫做a的n次方根.就是说，如果 xn=a 那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.,第一节 指 数 幂c,当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示. 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号- 表示，正的n次方根和负的n次方根可以合并写成 (a0).,第一节 指 数 幂,16的4次方根可以写成 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 根据n次方根的意义，可 . 注意 当n为奇数时, 当n为偶数时，,第一节 指 数 幂,第一节

2、指 数 幂,二、分数指数幂 我们看下面的例子: 这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式. 根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式.,我们规定正数的正分数指数幂的意义是 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定,第一节 指 数 幂,0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数. 上述整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数m,n均有下面的运算性质：,第一节 指 数 幂,一般地，当a0时，任意给定一个无理数，都有a是一个唯一确定的实数. 这样我们就把有理数指数幂的概念推广到了实数指数幂.,第一节 指 数 幂,第一节 指 数 幂,第一节 指 数 幂,第一节 指 数 幂,第一节 指 数 幂,第二节 指 数 函 数,一、指数函数的定义 引例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个,一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是y=2x . 引例2 某企业原来的年产值为1亿元，计划从今年

3、开始年产值平均每年增加8%，求x年后的产值y(单位：亿元).,分析 1年后的年产值是1+0.08=1.08，2年后的年产值是(1+0.08)(1+0.08)=1.082，3年后的年产值是(1+0.08)2(1+0.08)=1.083，x年后的年产值是(1+0.08)x-1(1+0.08)=1.08x，所以x年后的年产值y是y=1.08x.,第二节 指 数 函 数,以上两个例子中的函数，它们的指数都是变量，底数都是常量，对于这样的函数，给出下面的定义. 定义 形如y=ax(a0，a1)的函数称为指数函数.其中x是自变量.函数的定义域是R.,第二节 指 数 函 数,第二节 指 数 函 数,第二节 指 数 函 数,表 4-1,二、指数函数的图像和性质 现在我们分两种情况来描绘指数函数的图像，从而进一步研究指数函数的性质. (1)a1的情况. 例如，画出y=2x的图像. 列出x,y的对应值表4-1，用描点法画出图像：,(2)0a1的情况. 例如,我们来画 的图像,即y=2-x的图像. 列出x,y的对应值表4-2，用描点法画出图像：,表 4-2,第二节 指 数 函 数,因为 ，所以只要在函数y=

4、2x中，把x换成-x，并且根据y=2-x的图像与y=2x的图像关于y轴对称，就可以画出函数y=2-x，也就是 的图像(图4-1).,图 4-1,第二节 指 数 函 数,第二节 指 数 函 数,表 4-3,一般地，指数函数y=ax在底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质如表4-3所示.,第二节 指 数 函 数,第二节 指 数 函 数,第二节 指 数 函 数,第二节 指 数 函 数,三、指数函数的应用,第三节 对 数,一、对数 1.对数的概念 我们知道，2的4次幂等于16，即24=16,这里2是底数，4是指数，16是2的4次幂. 如果 提出另一个问题：2的多少次幂等于16？也就是说，如果2b=16,b=? 这是已知幂和底数的值，求指数的问题.为了解决这类问题，引进一个新的概念对数.,对数的定义 如果a(a0,a1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底的正数N的对数，记作 logaN=b 其中a叫做对数的底数，简称底，N叫做对数的真数，简称真数.,第三节 对 数,指数形式ab=N简称指数式，对数形式logaN=b简称对数式，这两类形式表示了a,b,N间的同一关系.设a0,a1

5、,例如, 24=16log216=4 102=100log10100=2 10-2=0.01log100.01=-2,第三节 对 数,从定义可知，(1)负数和零没有对数. (2)1的对数等于0. 即 (3)底的对数等于1. 即 (4)根据对数的定义，如果ab=N，那么b=logaN，把b=logaN代入ab=N中，得恒等式 同样，把N=ab代入b=logaN，得恒等式,第三节 对 数,第三节 对 数,第三节 对 数,2.常用对数和自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数log10N简记作lgN例如:log105简记作lg5,log1035简记作lg35 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作ln N.例如:自然对数loge3简记作ln 3，自然对数loge10简记作ln 10.,第三节 对 数,第三节 对 数,第三节 对 数,二、对数的运算法则 已知logaM,logaN(M,N0)，求loga(MN),logaM/N,logaMa. 设logaM=p,logaN=q,根据

6、对数的定义，可得M=ap,N=aq MN=apaq=ap+q, loga(MN)=p+q=logaM+logaN. MN=ap/aq=ap-q, logaM/N=p-q=logaM-logaN. Ma=(ap)a=apa, logaMa=ap=alogaM.,第三节 对 数,总结以上论证，我们得到下面的对数运算法则： (1)loga(MN)=logaM+logaN. 即 两个正数乘积的对数等于各个因数对数的和.这个法则可推广到多个正数积的情况，即 loga(M1M2Mk)=logaM1+logaM2+logaMk(kN*) (2)logaM/N=logaM-logaN. 即 两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数.,第三节 对 数,(3)logaMn=nlogaM. 即 正数幂的对数等于幂的指数乘以幂的底数的对数. 即 正数的算术根的对数等于被开方数的对数除以根指数.,第三节 对 数,第三节 对 数,第三节 对 数,三、对数的换底公式 设logaN=x,则有ax=N, 两边取以b(b0且b1)为底的对数，得 logbax=logbN xlogba=logbN x=logbN/l

7、ogba 即 logaN=logbN/logba 此公式叫做对数的换底公式，其中a,b均为不等于1的正数.,第三节 对 数,如果取a=e,b=10,那么公式变成 此式是自然对数和常用对数的互换公式.,第三节 对 数,第三节 对 数,第三节 对 数,第三节 对 数,第四节 对 数 函 数,一、对数函数的定义 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂的问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示.现在我们来研究相反的问题.如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数. 根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x=log2y. 如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y=log2x.,下面我们具体分析当a0且a1时，指数函数y=ax的反函数的解析表达式. 由于当a0且a1时，有logaN=bab=N. 因此,指数函数y=ax把b对应到N N=ab b=logaN 函数y=logax把N对应到b 从而指数函数y=ax的反函数是y=logax. 我们把函数y=logax叫做

8、对数函数，其中a0且a1.,第四节 对 数 函 数,表 4-4,由于对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，因此有下列结论(表4-4)：,例如，y=log2x,y=log1/3x,y=lgx,y=ln x等都是对数函数.它们分别是指数函数y=2x,y=(1/3)x,y=10x,y=ex的反函数. 其中y=lgx称为常用对数函数。y=ln x称为自然对数函数.,第四节 对 数 函 数,二、对数函数的图像和性质 现在研究对数函数y=logax(a0且a1)的图像和性质. 因为对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图像与y=ax的图像关于直线y=x对称.因此，我们只要画出和y=ax的图像关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=logax的图像.,第四节 对 数 函 数,例如，画出y=2x的图像关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=log2x的图像. 同样，画出与 的图像关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=log1/2x的图像.,图 4-2,第四节 对 数 函 数,由图4-2可以看出，对数函数y=logax(a0且a1)有如下性质： (1)图像都在y轴的右方； (2)图像都经过点(1,0). 当a1时是增函数，当x1时，y0;当01时，y0.,第四节 对 数 函 数,表 4-5,一般地，对数函数y=logax在其底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质如表4-5所示.,第四节 对 数 函 数,第四节 对 数 函 数,第四节 对 数 函 数,第四节 对 数 函 数,第四节 对 数 函 数,三、对数函数的应用 现在用已学过的知识举例说明对数函数的应用.,第四节 对 数 函 数,第四节 对 数 函 数,第四节 对 数 函 数,

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