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信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析 《信号与系统》书稿-4-1

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    • 1、ThemeGallery PowerTemplate,4-1 三角函数系,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,三角函数系定义,最小二乘拟合,内容安排,4-1-1 三角函数系,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,4-1-1 三角函数系,周期性是函数的重要特性。,三角函数系,三角函数系是基础建模函数。,在本书中,术语正弦曲线(sinusoid)是指正弦函数(sine)和余弦 函数(cosine)。,周期函数反映了客观世界中的周期运动。,正弦函数,四个参数:,:表示曲线相对于横轴的高度,:表示曲线波动的幅度,:描述函数的周期特征,:规定正弦曲线在水平方向的平移量,4-1-1 三角函数系,根据三角恒等运算:,有:,一般线性最小二乘模型形式,4-1-1 三角函数系,式中:,推理得到:,同理可得:,4-1-1 三角函数系,线性最小二乘模型的一般形式为:,其中,是n+1个基函数,e 为模型与观测值之间,的误差,即残差。,若基函数选择为,则上式,若基函数选择为,即,则上式表示多项式模型,表示线性回归模型,4-1-1 三角函数系,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,上式为线性最小二乘模

      2、型的特例,其中:,显然,上式的残差平方和:,的取值应为最小。其中,N为数据点的总数。,(4-1-8),(4-1-7),4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,为了确定式(4-1-8)中的系数,和,,分别对式(4-1-8),和,取偏微分,有:,中的每个系数,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,令这些偏微分为零,整理后得到式(4-1-7)的正规方程组,如下:,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,将该极小值问题,也即式(4-1-10)写成矩阵形式,注意到,,有:,(4-1-11),4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,(4-1-12),为方便起见,设有N个间隔为,,且均匀分布的观测值,总的,,则可以证明下列平均值:,观测时间为,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,因此,对于均匀分布的点,正规方程简化为:,由此可解得:,(4-1-14),(4-1-13),4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,或:,(4-1-14),例4-1-1:设正弦曲线由函数,建模,其中,。表4-1-1给出该曲线在区间,内等间隔,。试用最小二乘法确定系数。,生成的10个观测值,间隔,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,例4-1-1:,本节例题,解:根据式(4-1-15),可计算出,因此,最小二乘法给出的拟合模型为,另外,由式(4-1-4)和式(4-1-5)可求出,本节例题,故上式可改写成,上述分析可以推广到一般线性最小二乘模型中。如果选择基函数,,则任意函,可以表示为基函数的线性加权组合,即,数,本节例题,对于均匀分布数据,式中的系数由下列公式计算,综上所述,从回归(即,)意义上讲,上述方法显然可以用,)等于数据点个数(即N),。特别要说明的是,连续时间傅立叶级数展开,于数据的拟合或建模;另外,若应用于插值或者配置(collocation),算法中,则它适用于未知数个数(即,的情况,即,就采用了这种思想。,

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