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应用数学教学课件 ppt 作者方鸿珠蔡承文 4-5定积分在几何上的应用

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1、一、定积分的微元法,二、平面图形的面积,第5节定积分在几何上的应用,三、旋转体的体积,下一页,上一页,返回,定积分在几何、物理、工程技术等方面都有着广泛的应用为正确灵活地应用定积分解决实际问题，我们首先从引入定积分概念的实例中总结出应用定积分解决实际问题的一般方法微元法,一、定积分的微元法,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,第一步选取积分变量，,例如选取 x，并确定其范围，,例如 x a, b，,在其上任取一个子区间记作 x, x + dx.,第二步取所求量 I 在子区间 x, x + dx 上的部分量 I 的近似值,I f (x)dx，,得,上述简化了的方法称为定积分的微元法,下一页,上一页,返回,二、平面图形的面积,1.直角坐标系中的平面图形的面积,（1）求由曲线y=f(x)与直线 x=a, x=b 及 x 轴所围成的平面图形的面积,由定积分的几何意义及微元的定义知：,则曲线y=f(x)与直线 x=a, x=b 及 x 轴所围成的平面图形的面积A的微元dA=f(x)dx ；,下一页,上一页,返回,如果 f (x) 在 a, b 上有正有负，,那么它的面积 A 的微元应是

2、以 | f (x) | 为高，,dx 为底的矩形面积，,dA= | f (x) |dx .,于是，总有,即,下一页,上一页,返回,例1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 3 及 x 轴所围成的平面图形的面积,解由上述公式得,下一页,上一页,返回,也可以先画出 y = x3 与直线 x = - 1，x = 3 及 x轴所围成的平面图形，如图,则由定积分的几何意义知,下一页,上一页,返回,(2) 由两条曲线 y = f (x)、 y = g (x),与两条直线 x = a， x = b 所围成的平面图形的面积为,下一页,上一页,返回,例2 求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x 4 所围成的平面图形的面积.,解作草图，如图，,求抛物线与直线的,交点，即解方程组,得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4).,下一页,上一页,返回,如果选择 y 作积分变量，y - 2, 4，,任取一个子区间 y, y + dy - 2, 4，,则在 y, y + dy 上的面积微元是,x,y,A,B,(8,4),(2,-2),-2,4,y,y = x-4,y2 = 2

3、x,y + dy,于是,下一页,上一页,返回,如果选择 x 为积分变量，x0, 8，但当x 0, 2时，平面图形由抛物线y2 = 2x与直线x=0，x=2围成，而当x2, 8时，平面图形由抛物线y2 = 2x与直线y = x 4 ，x=2，x=8围成，于是有,下一页,上一页,返回,一平面图形绕该平面内的一条直线旋转所成的立体称为旋转体，该直线称为此旋转体的旋转轴常见的旋转体有圆柱体、圆锥体、圆台体和球体等,三、旋转体的体积,下一页,上一页,返回,首先，求由曲线y=f(x)与直线x=a, x=b,及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的,旋转体的体积（如图所示),y,y=f（x）,x,O a b,下一页,上一页,返回,取x为积分变量，任取一子区间,上的小旋转体可近似为底半径为y，高为dx,的小圆柱体，即所求旋转体的体积微,元是,于是，所求旋转体的体积为,下一页,上一页,返回,同理可得,与直线 y=c， y=d,及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为,由曲线,下一页,上一页,返回,例3 求由椭圆,解利用图形的对称性.,(一) 选取积分变量为 x 0, a，,所围的平面图,形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.,任取一个子区间 x, x + dx 0, a，,在子区间x , x + dx 上旋转体的微元为：,dV1= py2 dx,下一页,上一页,返回,于是,下一页,上一页,返回,则,绕 y 轴旋转，利用对称性和公式，即得所求旋转体的体积.,下一页,上一页,返回,例4 求 y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积.,解选积分变量 x 0, 1 (两曲线的交点为 (0, 0) 和 (1, 1) ，,任取子区间x, x + dx 0, 1，其上的体积的微元为,下一页,上一页,返回,

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