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信号与系统教学课件 ppt 作者张延华等第2章-连续时间信号与系统 SandS-2-10

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1、ThemeGallery PowerTemplate,2-10 LTI系统的微分方程描述,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,用微分方程描述LIT系统,用微分方程描述LIT系统,2-10 LTI系统的微分方程描述,虽然在前面的章节中意见讨论了连续LTI系统的一些性质，但并未讨论对这些系统特性进行建模的具体数学方程。本讲基于连续LTI系统的微分方程建模，在时域对系统的输入-输出特性进行系统的描述。但需注意，建模的对象一般是一个物理系统，而模型本身是描述这个物理系统的数学模型（不是物理系统本身）。,微分方程建模的最简单的形式是一阶线性微分方程，例如：,（2-10-1）,2-10 LTI系统的微分方程描述,（2-10-1）,其中系数、是常量，是输入信号，施加于系统的输入端，是系统的响应或输出信号。这个方程的特点是，由于不含有偏微分，所以是常微分方程；式中的变量及其微分都是一阶的，并且各项系数也都是常数。,方程的线性特性和时不变性可以验证如下。首先设为微分方程（2-10-1）在输入作用下的响应。因此有,（2-10-2）,2-10 LTI系统的微分方程描述,线性特性要求证明

2、当系统的输入为时，系统的输出是微分方程（2-10-1）的解。现将它们直接代入式（2-10-1），有,对上式整理后可得,（2-10-3）,根据式（2-10-2），等式左端的两项都为零，这就说明微分方程式（2-10-1）满足齐次性和叠加性，因而是线性的。,2-10 LTI系统的微分方程描述,至于系统的时不变性，如果用替代方程（2-10-1）中的，有,（2-10-4）,阶LTI常系数微分方程的一般形式为,（2-10-5）,2-10 LTI系统的微分方程描述,上式还可以写成紧凑形式,（2-10-5）,（2-10-6）,式中，，且和是与时间无关的实常数。是系统的输入信号，是系统的输出信号。而且容易证明，阶LTI常系数微分方程式是线性时不变的。,2-10 LTI系统的微分方程描述,作为LTI常系数微分方程描述实际系统的范例，重新考察本章第6讲中给出的动态电路和MEMS加速度计系统。两者的系统框图如图2-10-1所示。,图2-10-1 a)RLC动态电路；b)MEMS加速度计系统,2-10 LTI系统的微分方程描述,（2-10-7）,对于图2-10-1 a)所示的RLC动态电路，

3、其微分方程模型已经由式(2-6-6)给出，即,如果设系统的输入，系统输出，则电路输入-输出之间的关系可以改写为,2-10 LTI系统的微分方程描述,（2-10-7）,这个微分方程描述了电路中电压和之间的关系，其中方程的阶次（注意它包含两个独立的储能元件，一个电感一个电容），因此它是一个典型的二阶微分方程。,2-10 LTI系统的微分方程描述,对于图2-10-1 b)所示的MEMS加速度计系统，通过应用牛顿定律，这个机械系统也可以用微分方程来描述。根据式(2-6-11)，加速度计可以用含有固有频率和品质因数两个参数的二阶微分方程来建模,（2-10-8）,式中输出是检测块的位移量，系统输入为外部的加速度。这个系统包含两种储能元件，弹簧及质量块。,2-10 LTI系统的微分方程描述,观察图2-10-1可以发现，两个系统显然完全不相同。但电路的微分方程式（2-10-7）和机械系统的微分方程式（2-10-8）却在形式上是类同的，因为它们都是LTI常系数二阶微分方程。如果要说不同的话，两个方程只是各自对应项前面的系数不同。因此，上述观察告诉我们一个事实，那就是不同的系统可以由（形式上）相同的（输入-输出）方程描述！但问题是，二阶微分方程描述的到底是哪一个对象或者系统？答案应该是，对每一个方程，必须给出准确、合理的物理解释。,

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