风险管理与金融机构课后习题8-9章答案

1、第八章8.1 VaR是指在一定的知心水平下损失不能超过的数量；预期亏损是在损失超过VaR的条件下损失的期望值，预期亏损永远满足次可加性（风险分散总会带来收益）条件。8.2 一个风险度量可以被理解为损失分布的分位数的某种加权平均。VaR对于第x个分位数设定了100%的权重，而对于其它分位数设定了0权重，预期亏损对于高于x%的分位数的所有分位数设定了相同比重，而对于低于x%的分位数的分位数设定了0比重。我们可以对分布中的其它分位数设定不同的比重，并以此定义出所谓的光谱型风险度量。当光谱型风险度量对于第q个分位数的权重为q的非递减函数时，这一光谱型风险度量一定满足一致性条件。8.3有5%的机会你会在今后一个月损失6000美元或更多。8.4在一个不好的月份你的预期亏损为60000美元，不好的月份食指最坏的5%的月份8.5 (1)由于99.1%的可能触发损失为100万美元，故在99%的置信水平下，任意一项损失的VaR为100万美元。（2）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中，有0.9%的概率损失1000万美元，0.1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是（3）将两项投资迭加

2、在一起所产生的投资组合中有0.0090.009=0.000081的概率损失为2000万美元，有0.9910.991=0.982081的概率损失为200万美元，有20.0090.991=0.017838的概率损失为1100万美元，由于99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是1100万美元。（4）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率损失2000万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是（5）由于11001002=200，因此VaR不满足次可加性条件， 11079102=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。86（1）1天展望期的97.5% VaR为200(0.975)=200*1.96=392（2）5天展望期的97.5% VaR为*392=876.54（3）1天展望期的99% VaR 为392*=392*=466因此，5天展望期的99% VaR 为*466=10428.7 由于假定组合的价值变化服从正态分布

3、，其期望值为0，则当每天价值变化的一阶自相关系数等于0.16时对于8.16中5天展期望的97.5%变现为996万美元，C中5天展望期的99%的VAR变现为1182万美元。8.8 边际VaR是VaR的增长随第i个资产增加的比率，增量VaR是指第i个资产对于VaR的影响（含有第i个资产VaR与不含有第i个资产VaR的差），成分VaR是指整体VaR对于第i个资产的分配（成分VaR的总和等于整体VaR）。8.9总数为17或更多例外发生所对应的概率为1-BINOMDIST(16,1000,0,01，TRUE)，即2.64%，在5%置信水平下我们应该拒绝这一模型。8.10当金融资产交易组合的每天价值独立时，例外的情形以聚束的情形发生，而不是随机分布在整体时间区域内，这种情形被称为聚束效应。通常情况下，我们假设交易组合每天的价值变化独立，例外的情况发生应该比较均匀的分布在检测区间内，但是实际经济生活中，我们发现例外情形一般是呈现聚束分布特征的，这便是聚束效应。8.11证明式（8-3）证明：我们希望计算的标准差，其中Pi为第i天的回报，其数量为式中，i为Pi的标准差，ij为Pi与Pj的相关系数。这是对

4、于所有i，i=，当ij时ij=i-j，进一步运算，我们可以得出式（8-3）。8.12（1）对应于95%的置信水平，任意一项投资的VaR为100万美元。（2）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中，有4%的概率损失1000万美元，1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.040.04=0.0016的概率损失2000万美元，有0.020.02=0.0004的概率损失200万美元，有0.940.94=0.8836的概盈利200万美元，有20.040.02=0.0016的概率损失1100万美元，有20.040.94=0.0752的概率损失900万美元，有20.940.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由0.95=0.8836+0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。（4）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中,有0.16%的概率损失2000万美元，有0.16%的概率损失1100万美元，有4.68%的概率损失900万美元，因此，两项

5、投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损是 （5）由于9001002=200，因此VaR不满足次可加性条件， 941.68202=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。8.13 (1) (2)由上式得： (3)所以 (4) （万美元）第九章9.1每周的。9.2某资产的波动率为每年25%，对应于一天的资产价格百分比变化的标准为：25%/=1.57%假定价格变化服从正态分布，均值为0估测在95%的置信度下价格百分比变化的置信区间为：-3.09%3.09%9.3开市时的波动率比闭市时的要大，交易员在计算波动率时往往采用交易天数而不是日历天数。9.4隐含波动率是指使得由Black-Scholes所计算出的期权借个等于市价时所对应的波动率，隐含波动率的求解方法通常是采用试错法，因为不同期权对应于不同的隐含波动率，所以交易员利用Blac-Scholes公式时实际上采用了不同假设。9.5 由9.3节的方法：先计算每段的回报，再计算回报的标准差，最后计算得到的波动率为0.547%，但由式9-4的计算得出的每天波动率为0.530%。9.6由9-1可得：，当的概率为1%，则，K=2

6、500，当，即点击次数为10000次以及更多次的比例为0.25%；当，即点击次数为2000次以及更多次的比例为0.0625%。9.7在第n天估计的方差等于乘以在n-1天所估计的方差加上乘以第n天的回报的平方。9.8 GARCH（1,1）对于长期平均方差设定了一定权重，这与EWMA的假设一致，GARCH（1,1）具有波动率回归均值的特性。9.9在这种情形下，由式(9-8)我们可得出因此在第n天波动率的估计值为，即1.5103%。9.10由EWMA模型我们可以得到波动率的预测方程可以表示为： 所以，我们可以看出当我们把由0.95变为0.85意味着我们将赋予靠近今天的更大的权重，即认为近期的数据对现在的影响更大。同时，由模型我们也可以看出的变化将引起模型中权重的集体变化，进而引起模型波动率的较大变化。911采用通常的符号，因此，对于最新波动率的估计为每天1.078%。9.12.解：价格变化的比率为-0.005/1.5000=-0.003333，当前每天的方差估计为0.0062=0.000036，对于每天的方差的新估计为0.9*0.000036+0.1*0.0033332=0.00003351

7、1波动率的新估计值为以上数值的平方根=0.597%9.13长期平均方差所对应的权重为，长期平均方差为，增大会促使长期平均方差的增长，增大会增大对于近期数据所设定的权重，同时减小对于长期平均方差所设定的权重，以及增大长期平均方差；增大仍会增大对于前一个方差所设定的权重，减小对于长期平均方差所设定的权重，并且增大长期平均方差的水平。9.14 长期平均方差为/（1-），即0.000004/0.03=0.0001333，长期平均波动率为=1.155%，描述方差回归长期平均的方程式为E2 n+k=VL+(+)k(2 n- VL)这时E2 n+k=0.0001330+0.97k（2 n-0.0001330）如果当前波动率为每年20%， n=0.2/=0.0126,在20天后预期方差为0.0001330+0.9720（0.01262-0.0001330）=0.0001471因此20天后预期波动率为=0.0121，即每天1.21%。9.15 FTSE用美元表达为XY，X为其用英镑表达的价值，Y为汇率，定义xi为X在第i填的价格变化百分比，yi为Y在第i填的百分比变化，XY的比例变化为xi+yi,xi的

8、标准差为1.8%，yi的标准差为0.9%，X与Y的相关系数为0.4，因此xi+yi的方差为：0.018*0.018+0.009*0.009+2*0.009*0.018*0.4=0.0005346，因此xi+yi的标准差为0.0231，即2.31%，这就是FTSE100被转化成美元后的波动率。9.16由式9-10可得：，则长期平均方差为：，再由式9-14可得：，则波动率为：，即30天后的日波动率为1.11%。9.17 把=0.0001，=0.0202，=20以及=0.000169带入公式 得到波动率为19.88%。9.18 周数股票价格价格比每天回报030.21321.0596030.057894231.10.971875-0.02853330.10.967846-0.03268430.21.0033220.003317530.31.0033110.003306630.61.0099010.0098527331.0784310.075508832.90.99697-0.003039331.003040.0030351033.51.0151520.0150381133.5101233.71.005970.0059521333.50.994065-0.005951433.20.991045-0.009此时，周收益率标准差的估计值为即周波动率为2.884%每周波动率的标准差为或每周0.545%9.19(a)在这种情形下，由式(9-8)我们可得出因此在第n天波动率的估计值为，即1.2709%。(b)这里GARCH(1,1)模型为由(a)知，因此对于波动率的最新估计为，即每天1.2604%。9.21（a）由题设可知GARCH（1,1）模型为：因为，由于，可知模型隐含的每天长期平均方差为0.0001，对应的波动率为=0.01即每天1%。（b）因为当前波动率为每天1.5%，所以由于故20天后=0.0001+（0.98）20（0.0152-0.0001）=0.00018 40天后=0.0

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