选修4-2矩阵与变换知识点

1、选修选修 4-24-24-24-2 矩阵与矩阵与变换变换知识点知识点 一、线性变换与二阶矩阵一、线性变换与二阶矩阵 1 1 1 1矩阵的相关概念矩阵的相关概念 （1）由 4 个数a,b,c,d排成的正方形数表 ab cd 称为二阶矩阵，数a,b,c,d称为矩阵的 元素在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行;竖的叫列，从 左到右依次称为矩阵的第一列、第二列矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，表示 （2） 二阶矩阵 00 00 称为零矩阵， 简记为 0 0 0 0， 矩阵 10 01 称为二阶单位矩阵， 记作 E E E E （3）对于两个二阶矩阵A，B，如果它们的对应元素分别相等，则称矩阵A与矩阵B 相等， 记作A=B， 设A= 11 11 ab cd ， B= 22 22 ab cd ， 若 A=B， 则 12121212 ,aa bb cc dd= 2 2 2 2线性变换的相关概念线性变换的相关概念 （1）我们把形如( ) xaxby ycxdy = + = + 的几何变换叫做线性变换，( ) 式叫做这个线性变换 的坐标变换公式，( ,)P x y是( , )P

2、 x y在这个线性变换作用下的像 （2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换 （3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换、，如果对平面内任意一点 P，都 有（P）=（P） ，则称这个两个线性变换相等，简记为=，设，所对应的二阶 矩阵分别为A，B，则A=B 注：注：1旋转变换 a a sin cos a a cos sin += = ayaxy ayaxx cossin sincos 2反射变换（1）关于X轴对称 0 1 1 0 = = yy xx （2）关于Y轴对称 0 1 1 0 = = yy xx （3）关于Y=X对称 1 0 0 1 = = yy xx 3伸缩变换 （1） 纵轴伸缩 0 1 k 0 = = kyy xx （2）横轴伸缩 0 k 1 0 = = yy kxx （3）横纵均伸缩 0 1 k 2 0 k = = yky xkx 2 1 4投影变换 （1）关于 X 轴正投影 0 0 0 1 = = 0 y xx （2）关于 Y 轴正投影 0 0 1 0 = = yy x 0 5切变变换（1）沿X轴平行方向移ky个单位 0 1 1 k = +=

3、yy kyxx （2）沿Y轴平行方向移kx个单位 k 1 1 0 += = ykxy xx 3 3 3 3二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与平面向量的乘法 设A= ab cd ， = x y ，则A= ab cd x y = axby cxdy + + 4 4 4 4线性变换的基本性质线性变换的基本性质 设 A 是一个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个向量，是一个任意实数， （1）性质 1A( )=A A( + )=A +A （2）定理 1 1212 ()AAA +=+ （3）定理 2二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点） 二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵 1 1 1 1二阶矩阵的乘法二阶矩阵的乘法 一般的，设A= 11 11 ab cd ，B= 22 22 ab cd ，则 AB= 11 11 ab cd 22 22 ab cd = 121 21 212 121 21 212 a abbabbd c ad ccbd d + + 对直角坐标系xOy内任意向量 ，有A（B ）=（AB） 2 2 2 2矩阵

4、乘法的性质矩阵乘法的性质 （1）结合律 设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则A（BC）=（AB）C （2）二阶矩阵 A 的方幂的性质 0 2, ,()( ,). klk lklkl AEA AAAAk lN + = 3 3 3 3逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵 （1）一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得=，=I， 则称变换可逆，并且称是的逆变换 （2）一般地，设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA=AB=E，则称矩 阵A可逆，并且称B是A的逆矩阵 4 4 4 4逆矩阵的性质逆矩阵的性质 （1）性质 1 设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的 （2） 性质 2 设A， B是二阶矩阵， 如果A， B都可逆， 则 AB 也可逆， 且（AB） -1=B-1A-1 5 5 5 5逆矩阵的判定及求法逆矩阵的判定及求法 定理： 二阶矩阵A= ab cd 是可逆的， 当且仅当detA=ad-bc0,当矩阵 A= ab cd 可逆 时，A-1= detdet detdet db AA ca AA 6 6 6 6逆矩阵与二元一次方程逆矩阵与二元一次方程 （1 1 1

5、1）定理定理 如果关于变量 x,y 的二元一次方程组（线性方程组） axbye cxdyf += += 的系数矩 阵 A= ab cd 可逆时，那么该方程组有唯一解 1 xabe ycdf = （2 2 2 2）推论）推论关于变量 x,y 的二元一次方程组 0 0 axby cxdy += += ，其中a,b,c,d是不全为零的 常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式0 ab cd = 注：注：利用矩阵知识解二元一次方程组的一般步骤是（先将二元一次方程组化为 axbye cxdyf += += 的形式，其次判断系数矩形 A= ab cd 是否可逆，若可逆则求|A，代入 | | debf x A ceaf y A = + = 求解;若 A 不可逆， 当 abe cdf =时， 方程组有无数个解， 当 abe cdf =时， 方程组无解 ） 三、变换的不变量与矩阵的特征向量三、变换的不变量与矩阵的特征向量 1 1 1 1矩阵特征值、特征向量的相关概念矩阵特征值、特征向量的相关概念 （1）定义设矩阵 A= ab cd ，如果存在实数以及非零向量，使得 A=， 则称是矩阵 A 的一个特

6、征值，是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量 （2）一般地， 设是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量， 则对任意的非零常数k， k也矩阵 A 的属于特征值的特征向量 （3）一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线 （4）设矩阵 A= ab cd ，称( ) ab f cd = 为矩阵 A 的特征多项式，方程 ab cd =0 为矩阵 A 的特征方程 2 2 2 2特征向量的应用特征向量的应用 （1）设A是一个二阶矩阵，是矩阵 A 的属于特征值的任意一个特征向量， 则An= n(nN*) （2）性质 1设 12 ，是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， 12 ，是矩阵A的分别属于 特 征 值 12 ，的 特 征 向 量 ， 对 于 任 意 的 非 零 平 面 向 量， 设 = 1 12212 ()tttt+其中 ， 这实数，则对任意的正整数 n，有 111222. nnn Att =+ 注注：求二阶矩阵特征值和特征向量的步骤是： （1）求出矩阵 A 的特征多项式( )f ;（2） 令( )f =0，求出矩阵 A 的特征值 12 ，;（3）分别就 12 ，列出相应的二元一次方程组， 求出对应的特征向量 12 ，

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