曲面方程
29页1、复习:平面及直线,第八章,四、二次曲面,第五节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,曲面及其方程,第八章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,【引例】,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,定义1,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,故所求方程为,例1 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,例2 方程,解 配方得,可见此方程
2、表示一个球面,【说明】 如下形式的三元二次方程,球心为,其图形可能是,的曲面?,表示怎样,半径为,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,半径为,定义2 一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yOz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,思考:当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?,例4 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yOz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4 求坐标面 xOz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解: 绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解 在 xOy 面上,,表示圆C,沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任
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