信号与系统分析基础 非信息类专业 教学课件 ppt 作者 潘文诚 等 第2章 连续信号的傅里叶变换

1、连续信号的傅里叶变换,第2章,第2章 连续信号的傅里叶变换,在一些前续课程中，我们讨论信号一般在时域进行，重点考察其时间函数的特性。从本章起，我们要进入信号与系统的变换域分析。在变换域分析中，首先讨论傅里叶分析。傅里叶分析的研究与应用是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，至今已经历一百余年。1807年，法国数学家傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier,1768 -1830) 向巴黎科学院呈交“热的传播”论文，推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任何一个函数都可以展成三角函数的无穷级数，傅里叶分析等理论由此产生。当今，傅里叶分析已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。,如果某一连续时间信号 是周期的，则存在着一个非零的正实数 T1，对任何t都满足,2.1.1周期信号的傅里叶级数,（2.1. 1）,满足式（2.1. 1）中的T1称为该信号的基波周期， 称为该信号的基波角频率。已知任意一个复指数信号 是周期的，对于式（2.1. 1）所示的周期信号，与之成谐波关系的复指数信号的集合为,（2.1.

2、 2）,2.1 傅里叶级数（FS） 傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的，当然也可以选择其他的完备正交信号集来表示），所以被称为傅里叶级数(Fourier series) 一种特殊的三角级数。,上式中， 中每一个信号都是周期的，它们的角频率都是1的整数倍，因此称它们与1成谐波关系，并将之称为n次谐波。根据欧拉公式，可以将式（2.1. 2）式表示成三角函数形式的成谐波关系的信号集,狄义赫利条件：在同一个周期T1内， （1）信号绝对可积，即,（2.1. 3）,（2.1. 4）,（2）信号只有有限个极大值和极小值； （3）信号只有有限个间断点，并且在每个不连续点上信号都必须是有限值。 一般周期信号都是满足这三个条件，任何满足狄义赫利条件的周期函数都可展成傅里叶级数。,1,三角形式的傅里叶级数,由数学分析课程已知，周期信号 ，f(t) 周期为T1，基波角频率为 ，在满足狄义赫利条件时，可展开成,（2.1. 5）,式中n为正整数，其各次谐波分量幅度值的计算公式： 直流分量,（2.1. 6）,n次谐波余弦分量的系

3、数,（2.1. 7）,n次谐波正弦分量的系数,（2.1. 8）,合并式（2.1. 5）中同频率的正弦项，可得傅里叶级数的余弦形式：,（2.1. 9）,合并同频率的余弦项，可得傅里叶级数的正弦形式：,（2.1. 10）,比较式（2.1. 5）、式（2.1. 9）和式（2.1. 10），可看出傅里叶级数中各个量之间的关系：,（2.1. 5）,（2.1. 11）,（2.1. 9）,（2.1. 10）,（2.1. 5）,由欧拉恒等式，即式（1.1.12）， 上式可写成,（2.1. 12）,令,（2.1. 13）,2.傅里叶级数的复指数形式 用复指数形式 表达傅里叶级数是非常方便的，已知,（2.1. 14）,式（2.1. 14）称周期信号傅里叶级数的复指数形式，Fn 称为周期信号傅里叶级数的谱系数（简称傅里叶系数），一般情况下 Fn为复数，由 f(t) 直接给出的定义式为：,（2.1. 15）,由式（2.1. 13），可证明如下：,则式（2.1. 12）可写成,【例2- 1】求图2- 1所示周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。,图2- 1 周期锯齿波,【解】由图可得 ，则各谐波分量 的系数为

4、：,所以，周期锯齿波的傅里叶级数展开式为,【例2- 2】将图2-2所示的周期矩形脉冲信号展开为指数形式的 傅里叶级数。,图2-2 周期矩形脉冲信号,【解】：由图2-2可以看出,在一个周期内，该信号为,由式（2.1. 15）得,代入式（2.1. 14），于是周期矩形脉冲信号f(t)的复指数形式的傅里叶级数展开式为,从以上例子可以看到，一个周期信号可以分解为直流和许多正弦（余弦）分量，它们的基波角频率与原周期信号相同，为 ，各次谐波角频率按n1递增。,2.1.2 傅里叶级数频谱,将一个周期信号表示成式（2.1. 14）所示的复指数正弦信号组合，实质上是将周期信号分解为不同频率的谐波分量。这个表达式不仅仅是一种信号表示方法，更重要的是它揭示了周期信号的实质，即一个周期信号由不同频率的谐波分量所组成，周期信号之所以具有周期性，其原因也正在于此。 傅里叶分析实质上是一种频域分析方法，当信号被分解成各次谐波以后，我们就可以从频域来分析处理问题。一般而言，信号的频域特性是信号的内在本质，而信号的时域波形只是信号的外在形式。显然，从本质上分析处理问题将会更深入、更全面、更方便，也更具有优越性。 在傅里

5、叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率，这样绘出来的图称为频谱图，习惯上也常将幅度频谱简称为频谱。,例如， ，可表示为图2- 3。,图2- 3 的频谱图,，可表示为图2- 4,图2- 4 cos0t的频谱图,由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。周期信号 f(t) 一般为n1的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为幅度谱，另一个称为相位谱，通常也称为幅频特性图和相频特性图。从傅里叶级数的三角形式和复指数形式导出的频谱在外观上略有不同，下面我们分别加于讨论。 1从傅里叶级数三角形式或余弦形式的各个量之间的关系，即式（2.1. 11），我们可得幅频特性和相频特性如下：,（2.1. 16）,式（2.1. 16）表示的振幅与相位随频率变化的图形只在频率轴的零频率和正频率一边有谱线，称为信号的单边频谱图，如图2- 5所示，图a是幅度频谱 关系曲线，图b是相位频谱 的关系曲线。在幅度频谱图中，每条竖线代表该频率

6、分量的幅度，称谱线；连接各谱线顶点的曲线（图中虚线所示）称为包络线，它反映了各分量幅度随频率变化的情况。,图2- 5傅里叶级数的单边频谱图,2从傅里叶级数复指数形式导出的双边频谱,傅里叶级数复指数形式式（2.1. 14）中的傅里叶系数的模Fn、相位随频率变化的幅频特性和相频特性如图2-6所示。因为在频率轴的正频率和负频率两边都有谱线，所以将它称为双边频谱图。负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义。由式（2.1. 13）可得：,（2.1. 17）,图2-6 傅里叶级数的双边频谱图,傅里叶系数,为一辛格函数，由此画出的幅度频谱如,图2-7 周期矩形信号的幅度频谱,【例2-3】画出周期矩形脉冲信号的幅度频谱图 【解】由例2- 2得周期矩形脉冲信号的复指数形式傅里叶级数展开式,图2-7所示。,由图2- 5、图2-6可见，周期信号的频谱具有以下特点： （1）频谱图由频率不连续的谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量，即周期信号频谱具有离散性。以后还会知道，非周期信号的频谱是连续的。 （2）频谱中的谱线只出现在基波频率1的整数倍频率处，即频谱具有谐波性。 （3）频谱中各线的高度，即各次谐

7、波的振幅随谐波次数的增高而逐渐减小。当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅趋于无穷小，即频谱具有收敛性。 以上就是周期信号的频谱的三个特点：离散性、谐波性和收敛性。这是所有周期信号共有的特点。,【例2-4】周期信号,（1）画出单边幅度谱和相位谱； （2）画出双边幅度谱和相位谱。,（1）单边频谱图如图2-8所示：,图2-8 例2-4题单边幅度谱 和相位谱,【解】,（2）双边频谱图如图2- 9所示：,图2- 9例2-4题双边幅度谱和相位谱,【例2-5】将图2-10所示信号展成傅里叶级数并画出频谱图。,图2-10 周期方波信号示意图,【解】由图2-10看出，在一个周期内方波信号的解析式为,按式（2.1. 6）、式（2.1. 7）和式（2.1. 8），分别求得傅里叶级数各分量：,所以，信号的傅里叶级数展开式为,傅里叶系数为,所以，其单边频谱与双边频谱如图2- 11(a)、(b)所示。,图2- 11 周期方波信号单边和双边频谱,1898年美国物理学家米切尔森（Albert Michelson）发现，当用傅里叶级数前N项谐波分量的有限项之和去近似周期方波时，发现随着所取谐波项数N的增加，在信号间断点

8、两侧总是存在着起伏的高频信号和上冲超量。当N增大时，这些高频起伏和超量所拥有的能量将减少，并趋向于信号的间断点处。当所选取的项数N很大时，该量趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。1899年美国著名物理学家吉布斯(Josiah Willard Gibbs)解释了这一现象，这种现象就被称为吉布斯现象。用有限项谐波叠加成方波信号的过程如图2- 12所示。,图2- 12 方波信号的吉布斯现象,上一节我们讨论了周期信号的傅里叶级数展开，并得到了它们的离散频谱。本节把傅里叶分析的方法推广到非周期信号中去，并导出傅里叶变换。 仍以周期矩形信号为例，当周期T1趋于无穷时，它就演变成一个非周期的单脉冲信号，所以可以把非周期信号看成是一个周期趋于无穷时的周期信号。由图2- 13 可见，当周期信号的周期T1增大时，谱线的间隔,变小，若周期T1趋于无穷大，则谱线的间隔趋于无穷小，这样， 离散频谱就变成连续频谱了。,2.2傅里叶变换(FT),图2- 13 从周期信号的离散频谱到非周期信号的连续频谱,2.2.1 傅里叶变换对 1傅里叶变换的定义,对于非周期信号，重

9、复周期T1，重复频率 1 0 ，而谱线间隔 (n1) d，离散频率n1连续频率。在这种极限情况下，虽然Fn趋于无穷小量，但是 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F() ，即,（2.2. 1）,我们称 F(j)为非周期信号 f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。同理，对 f(t)的傅里叶级数展开式也可作如下改写：,或,且,，,，从而（2.2. 2）可写成,，,（2.2. 3）,由此，我们得到了式（2.2. 1）和式（2.2. 3）为非周期信号f(t)的频谱表达式。可记为,因为T1时，上式则为非周期信号 f(t)的表达式，此时重写 式（2.2. 1）：,（2.2. 4）,（2.2. 5）,式（2.2. 4）称为傅里叶正变换，式（2.2. 5）称为傅里叶逆变换。f（t）和F() 的 对应关系也可简记为,（2.2. 6）,傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一一对应的关系，其中一个积分方程是另一个积分方程的解。式（2.2. 5）是从已知的 F()恢复原有信号f(t) ，称为合成公式；式（2.2. 4）是从已知信号 f(t)求得它的组成分量 F()称为分解公式。通过它们将时域和频域有机地联系起来。傅里叶正变换与傅里叶逆变换具有唯一性。如果两个函数的傅里叶正变换或傅里叶逆变换相等，则这两函数必然相等。,比较傅里叶级数和傅里叶变换，见表2- 1：,表2- 1 傅里叶级数与傅里叶变换比较表,2频谱密度函数的特性和存在的条件 频谱密度函数 F() 一般是复函数，可写成： 。其中 |F()| 是的模，习惯上称为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号中个频谱分量的相对大小随频率变化的幅频特性； 是F()的相位函数，习惯上称为相位频谱密度函数，简称相位谱，表示信号中各频率分量之间的相位随频率变化的相

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