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《高等数学》-何春江-电子教案 0903 0903

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1、第三节平面与直线,一、平面的方程,二、直线的方程,三、平面、直线的位置关系,1平面的点法式方程,法向量,因为,所以有,该方程称为平面的点法式方程,解由平面方程的点法式得所求平面方程为,例1 求过点且垂直于向量的平面方程,即,解因为在该平面上,已知平面的法向量,故,所求平面的法向量与向量和都垂直,即,由公式得该平面的方程为,例3 求过点和三点的平面方程,故,解所求平面的法向量与向量和都垂直，而,由公式得该平面方程为,即,从平面的点法式方程得,令,该方程称为平面的一般式方程.,2平面的一般式方程, 得,它表示过点且以为法向量的平面,可见，任一三元一次方程（不全为零）都表示一个平面.系数为平面法向量的坐标,平面通过原点(图9.16),(2)当时，,图9.17,方程的特殊情况:,(1)当时，,该平面平行于轴（图9.17）,图9.18,(3)当时,表示的平面通过轴(图9.18),分别表示通过轴和轴的平面.,(4)当时，,图9.19,当时,该平面平行于坐标面(图9.19),它表示坐标面,同理，方程和分别表示平行面和面的平面;

2、方程和分别表示面和面.,方程为,代入原方程并化简,得所求平面方程为,例4 求通过轴和点的平面方程.,解因平面通过轴,由以上讨论,可设其方程为,解设所求平面方程为,例5 一平面经过三点，求此平面的方程.,又因三点都在平面上,所以有,后两个方程分别减去第一个方程,得,所以,代入第一个方程得,即,因为不能同时为零,所以 ,于是有,即得所求平面方程为,3平面的截距式方程,解此方程组得,设一平面过三点 (图9.20),求此平面方程,设平面方程为，,因为三点在该平面上,所以有,即得所求平面方程为,此方程称为平面的截距式方程,其中分别称为平面在轴、轴、轴上的截距.,解,方程两边同除以5,得平面的截距式方程为,其中,例6 将平面化为截距式方程,1直线的点向式方程与参数方程,方向向量:,所以由两向量平行的充要条件可知,此方程组称为直线的点向式方程（或称标准方程）,设点为直线L上任意一点则点在直线上的充要条件是 ,因为,注：当中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零,记其比值为t,则有,此式称为直线L的参数方程，t为参数,方向向量,故所求直线的方程为,上

3、式也称为直线的两点式方程,解,解因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量s垂直于两平面的法向量及,例8 求过点且平行于两平面及的直线方程.,所以取,因此,所求直线方程为,即,2直线的一般方程,设平面的方程分别为：,则两个平面的交线L的方程为,此方程称直线的一般方程,解先求直线上的一点,不妨令 ,代入原方程组得,再求该直线的一个方向向量,所以可取,所以直线的点向式方程为,令上式为 ,可得已知直线的参数方程为,1平面与平面的位置关系,两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).,法向量,因此与的夹角的余弦为：,特别地,两平面的法向量分别为,所以两平面的夹角的余弦为,所以两平面夹角,解,2直线与直线的位置关系,两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).,方向向量,因此与的夹角的余弦为,的方向向量分别为,解,则两直线与的夹角的余弦为,所以两直线的夹角,3直线与平面的位置关系,直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角,设直线与平面的垂直线的夹角为，与的夹角为 ,则 .求直线与平面夹角,由两向量夹角的余弦公式,有,的方向向量为,解,与的垂线的夹角的余弦为,因此，与的夹角,

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