《高等数学》-何春江-电子教案 0403 0403
34页1、第三节 函数的单调性,极值和最值,一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值,一、函数的单调性,定理 设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.则有,(1) 如果在(a,b)内 ,那么,函数f(x)在a,b上单调增加.,(2) 如果在(a,b)内 ,那么,函数f(x)在a,b上单调减少.,例1,解,在(2,1)内所给的函数严格单调减少.,由此可知,在 及 内,所给函数严格单调增加,,例2,解,例3,解,为了研究函数的单调性,我们只关心 在上述四个子区间内的符号,,这三个点x=1,0,1将y的定义域 分为 四个子区间.,表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.,第二栏标出 在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表:,可知所给函数严格单调增加区间为 .,严格单调减少区间为 .,如果F(x)满足下面的条件:,例4,解,在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题,这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题,这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.,二、函数
2、的极值,定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于x0的x都有,(2) 成立,则称 为f(x)的极小值,称 为f(x)的极小值点.,极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.,定理(极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导,且x0为f(x)的极值点,则,注意:可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意,函数的驻点并不一定是函数的极值点.,例如 为其驻点,但是x=0不是 的极值点.,还要指出,有些函数的不可导的点也可能是其极值点.,由上述可知,欲求函数的极值点,先要求出其驻点和导数不存在的点,然后再用下面的充分条件判别:,定理(判定极值的第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0连续,且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内,如果f(x)在x0的两侧保持相同符号,则x0不是f(x)的极值点.,因此可知x0为f(x)的极大值点.,对于情形(2)也可以进行类似分析.,分析,对于情形(1),由函数单调性的判别定理可知,,当 时,f(x)单调增加;,当 时,f(x)单调减少,,(3)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻
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