周培源力学竞赛辅导—材料力学—基本变形1

1、基本变形回顾 四种基本变形： 轴向拉（压）、圆轴扭 转、对称弯曲、剪切 两类问题：强度与刚度 轴向拉伸或压缩：轴向拉伸或压缩： F F F F F F m m FN m m FN x max,N max A F EA lF l N WV EA lF 2 2 N 杆纵向的总伸长量 2 000 ( ) dd =d 2 lll N xx F xql lxx EAEA FN(x) FN(x) +d FN(x) l B A q x B q ql dx FN(x) dx WV 2 N 0 ( )d 2( ) lF xx EA x 扭扭 转转 tmax tmax p max max tt W T O d r tr T tmax tmax O D d T r tr g Me Me j p GI Tl j 180 p max max jj GI T V p 2 2GI lT l l x GI T 0 p ddjj x l dd dxd 12 1 )( l x l dd d G xT 0 4 12 1 32 d j 3 1 3 2 2 121 2 2 3 1 3 212 4 3 32 )( 1 )( 1

2、)(3 32 dd dddd G Tl ldldddG Tl l x l dd d G xT 0 4 12 1 32 d j V 2 0 p ( )d 2( ) lT xx GIx 弯曲内力弯曲内力（没单独考过） Me Me A B F 剪力和弯矩的符号规则剪力和弯矩的符号规则 几种常见荷载下几种常见荷载下FS 图和图和M 图的特征图的特征 向上）向上）(0 cq 向下）向下）(0 cq 0)( S xF 时，弯矩时，弯矩M(x)为极值。为极值。 0q 集中力作用处集中力作用处集中力偶作用处集中力偶作用处 弯曲正应力弯曲正应力 FS x F F x M Fa F ala F z I My z O y z dA dA y z W M max tmax, t cmax, c 梁的正应力梁的正应力 强度条件为强度条件为 或或 弯曲切应力弯曲切应力 bI SF z z * S t z y y y1 Ad tmax z y O tmax t1max tmax tmin t bI SF z z * max,max,S 梁的切应力梁的切应力 强度条件为强度条件为 横力弯曲梁的强度条件：横力弯曲梁的强

3、度条件： tt max max 强度强度 足够足够 tt max max 确定截面尺寸确定截面尺寸 验验 证证 设计截面时设计截面时 B A C1 x y q(转角) w q (挠度) xMwEI 1 dCxxMwEI 11 ddDxCxxxMEIw 对等直梁：对等直梁： 弯曲位移弯曲位移积分积分法法 1( ) z M x EIr 弯曲位移弯曲位移叠加法法 1）小变形，轴向位移可忽略；小变形，轴向位移可忽略； 因此，因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 重点关注外伸梁的叠加法以及对称性反对称重点关注外伸梁的叠加法以及对称性反对称 性的运用技巧。性的运用技巧。 2）线弹性范围工作。）线弹性范围工作。 qq max 梁的刚度校核梁的刚度校核 l w l wmax 横弯梁的弯曲应变能为：横弯梁的弯曲应变能为： ll x EI xM VV 0 2 0 d 2 d EI lM MWV 22 1 2 e e q 纯弯梁的弯曲应变能为：纯弯梁的弯曲应变能为： Me Me A B

4、 F 剪切变形 1 铆钉剪切破坏 4 2 S d A PF 剪切面积 剪力 A F S t 名义切应力 FS 可见，该实用计算方法认为剪切切应力在剪切可见，该实用计算方法认为剪切切应力在剪切 面上是面上是均匀分布均匀分布的。的。 2 钢板孔壁和铆钉杆挤压破坏 PF b 挤压力 PF b 挤压力 bs Adt bs b bs A F 名义挤压应力 挤压面面积 3 钢板被拉断破坏 Nmax () FP Abd t FNP x +A FN 钢板的拉伸正应力 求解超静定问题的步骤：求解超静定问题的步骤： (1) (1) 根据分离体的根据分离体的平衡条件平衡条件，建立独立的静力，建立独立的静力 平衡方程；平衡方程； (2) (2) 根据根据变形协调条件变形协调条件，建立，建立补充方程补充方程 (3) (3) 利用胡克定律或其他的力与变形的关系，利用胡克定律或其他的力与变形的关系， 得到力的补充方程；得到力的补充方程； (4) (4) 联立求解。联立求解。 亦即横截面上各点处的正应力亦即横截面上各点处的正应力 都相等。都相等。 轴向拉压正应力公式的推导轴向拉压正应力公式的推导 从平面假设判断：从平

5、面假设判断： F F ac bd ac bd （1 1）所有纵向纤维伸长相等）所有纵向纤维伸长相等 （2 2）因材料均匀，故各纤维受力相等）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3 3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量 A FN AAF A d N xd dj rg r rg r dj g D G GE T T O1O2 ab a b dx DA gr r dj g D G GE O1 O2 DA gr r dx d 圆轴扭转切应力公式的推导圆轴扭转切应力公式的推导 剪切胡克定律剪切胡克定律 gtG x G d dj rt r 物理方面物理方面 xd dj rg r 静力学方面静力学方面 Ad r tr T A TA x G A d d d 2 r j p d d GI T x j rt r trdA trdA rr r O 得得 T pp I T GI T G r rt r r y OO BB AB BB 21 1 1 1 qrdd 21 xOO qrd)(yAB r 中性层的曲率半径中性层的曲率半径 C AB r y O1 O2 B1 dq dx

6、 Me Me m m n n aa b b 弯曲正应力公式的推导弯曲正应力公式的推导 物理方面物理方面单轴应力状态下的胡克定律单轴应力状态下的胡克定律 不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状 态。当态。当 p，且拉、压弹性模量相同时，有，且拉、压弹性模量相同时，有 r y r y EE 即直梁的横截面即直梁的横截面 上的正应力沿垂上的正应力沿垂 直于中性轴的方直于中性轴的方 向按直线规律变向按直线规律变 化。化。 z O y z dA dA y 静力学方面静力学方面 0d N A AF 0d A y AzM r y EE 0d rr z A ES Ay E 0d rr yz A EI Ayz E 0 z S 0 yz I 即中性轴即中性轴 z是形心轴。是形心轴。 对称弯曲时此条件将自动满足。对称弯曲时此条件将自动满足。 z O y z dA dA y 得得 MAyM A z d r y EE M EI Ay E z A rr d 2 z EI M r 1 z O y z dA dA y 得得 z I My 弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式

7、弯曲变形的线应变 应力 则 根据矩形截面的对称性以及 确定水 平对称轴是中性轴。 0d N A AF 矩形截面梁切应力公式的推导矩形截面梁切应力公式的推导 m mn n q(x) F1 F2 xdx b h z y h m m n n n m m dx b z y O x FS(x) M(x) M(x)+d M(x) FS(x) m n nm m n y z y BA A1 dA y1 横截面上纵向力不平横截面上纵向力不平 衡意味着纵截面上有水平衡意味着纵截面上有水平 剪力，即有水平切应力分剪力，即有水平切应力分 布。布。 * N1 * N2S dFFF * 1 1 1 * 1N* ddd z z A z A z A S I M Ay I M A I My AF * 12 * N2 d d )d( d *z z A z A S I MM Ay I MM AF 面积面积AA1mm 对中性轴对中性轴 z的静矩的静矩 而横截面上纵向力的大小为而横截面上纵向力的大小为 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * N2 F S dF * N1 F x 0 x F *

8、N1 * N2S dFFF * S d d z z S I M F 纵截面上水平剪力值为纵截面上水平剪力值为 * 1Nz z S I M F * N2 d z z S I MM F 要确定与之对应的水平切应力要确定与之对应的水平切应力t 还需要补充条件。还需要补充条件。 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * N2 F S dF * N1 F x 矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律 (1) 由于梁的侧面为由于梁的侧面为t t =0的的 自由表面，根据切应力互自由表面，根据切应力互 等定理，横截面两侧边处等定理，横截面两侧边处 的切应力必与侧边平行；的切应力必与侧边平行； (2) 对称轴对称轴y处的切应力必沿处的切应力必沿 y轴方向，即平行于侧边；轴方向，即平行于侧边； (3)横截面两侧边处的切应横截面两侧边处的切应 力值大小相等，对于狭长力值大小相等，对于狭长 矩形截面则沿截面宽度其矩形截面则沿截面宽度其 值变化不会大值变化不会大。 m m n n n m m dx b y t t A1 A B B1 h z y O x 窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设： (1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；横截面上各点处的切应力均与侧边平行； (2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。 根据切应力互等定理根据切应力互等定理 tt 推得：推得： (1) t 沿截面宽度方向均匀分沿截面宽度方向均匀分 布；布； (2) 在在dx微段长度内可以认为微段长度内可以认为t 没有变化。没有变化。 m m n n n m m dx b y t t A1 A B B1 h z y O x * S d d z z S I M F bI SF bI S x M z z z z * S * d d t bI SF z z * S t xbFdd S t 根据前面的分析根据前面的分析 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * N2 F S dF * N1 F x 即即 又又 由两式得由两式

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