信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统 《信号与系统》第二章-第12讲

1、ThemeGallery PowerTemplate,2-12 微分方程系统的特性,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,零状态响应、零输入响应,冲击响应,2-12 微分方程系统的特性,如果需要获得关于LTI系统的更多信息，可以进一步将描述系统的微分方程的响应分解成两个响应分量的叠加：其中一个响应分量只由系统的初始状态（或条件）决定，称为系统的自然响应（记为 ），由于此时系统的输入被置为零，故又称为零输入响应（记为 ）；另一个响应分量则由系统的外部输入信号产生，称为系统的受迫响应（记为 ），由于此时系统的初始状态被置为零，故又称为零状态响应（记为 ）。因此，对于连续时间LTI系统，其微分方程的完全响应（解）就可以有以下3种描述形式,2-12 微分方程系统的特性,齐次解-特解描述形式： （2-12-1） 自然响应-受迫响应描述形式： （2-12-2） 零输入响应-零状态响应描述形式： （2-12-3）,内容安排,2-12-1 自然响应,2-12-2 受迫响应,2-12-3 冲击响应,2-12-6 特征值,2-12-5 线性,2-12-4 零状态响应、零输入响应 和阶跃响应,2-1

2、2-1 自然响应,前面已经强调，微分方程系统的初始状态决定方程的齐次解 ，而齐次解在完全解中的成份又被称为系统的自然响应 。注意到自然响应假定了零输入条件（如果输入不为零则强迫置零），描述的是由非零初始状态所体现的系统储能的方式，故又称为零输入响应 显然这3个术语彼此是等价的。,由于自然响应有零输入条件约束，故其响应形式应如齐次解形式，并且与特解无关。而齐次解中的待定系数 ，可根据系统的初始状态确定。除此之外，因为齐次解满足整个时间区间，不需要进行初始条件的变换就可求出系统的自然响应。,内容安排,2-12-1 自然响应,2-12-2 受迫响应,2-12-3 冲击响应,2-12-6 特征值,2-12-5 线性,2-12-4 零状态响应、零输入响应 和阶跃响应,2-12-2 受迫响应,受迫响应 是系统的初始状态为零，仅由系统外部输入信号产生的响应。这里，初始状态为零称为系统处于零状态，而零状态意味着系统中没有储能，因此 描述了当系统处于零状态时系统受输入信号驱动的结果。显然，受迫响应在形式上与系统的完全解是相同的。 受迫响应 依赖于系统的特解，仅仅在时成立。,内容安排,2-12-1 自然响

3、应,2-12-2 受迫响应,2-12-3 冲击响应,2-12-6 特征值,2-12-5 线性,2-12-4 零状态响应、零输入响应 和阶跃响应,2-12-3 冲激响应,如果在零初始状态条件下考虑构建连续时间LTI系统的数学模型，则获得系统的另一种描述形式，即卷积积分（或叠加积分）模型。在卷积积分模型中，系统的特性是用单位冲激响应描述的，故需首先定义连续时间LTI系统的单位冲激响应。,定义 连续时间LTI系统的单位冲激响应是以单位冲激函数 作为系统的输入信号，并且假设系统的初始状态为零时的系统输出，记为 。需要强调的是，单位冲激函数 仅仅在系统的初始时刻 时驱动系统。,2-12-3 冲激响应,如前所述，连续时间LTI系统的动态特性可用阶常系数微分方程来建模，其一般形式由式（2-11-1）描述。如果令系统的输入信号 ，则系统的单位冲激响应根据定义应为,（2-12-1）,式中 是系统的单位冲激响应，且根据定义有：,2-12-3 冲激响应,对于 ，因为有 故式（2-12-1）在形式上就等同于齐次方程，即,（2-12-2）,但系统在 时的初始条件 ，必须另行确定。,一般情况下，系统在 时的初始条

4、件 可以通过奇异函数匹配法（直接法）或者系统的线性及时不变性得到。但在时域中奇异函数匹配法较为繁琐，所以下面的内容将局限在基于线性及时不变性的方法上。,2-12-3 冲激响应,对于式（2-12-2），可将系统的单位沖激响应 分解为两部分，再用线性性质和叠加原理求解，步骤如下：,第一步：定义一个基本单位沖激响应 为,（2-12-3）,对于 ，因为有 ，故式（2-12-3）在形式上就等同于齐次方程，即,（2-12-4）,该系统的初始条件是 ，为方便计，不妨令式中系数 。,2-12-3 冲激响应,通过推理可知，在 时刻式（2-12-3）等式右端是一个单位沖激函数 ，因此式（2-12-3）在等式左端必存在一个 函数以 便匹配方程两端。显然,方程左端只有 项能够包含 函数项，相应地， 的积分项 中只能包含单位阶跃函数项 （若包含 ， 则 将包含 ，而不是 ），因此初始条件必有 。这就说明 在 处存在一个跳跃间断点，且这个跳跃必须等于1，而其它各项 在 处均不存在跳跃间断点，这也就意味着,2-12-3 冲激响应,综上所述，可以得到结论：在 时刻，基本单位冲激响应 的初始条件为,（2-12-5）,第

5、二步：根据LTI系统的线性性质和微分特性，可得到由式（2-12-1）定义的LTI系统的单位冲激响应为,（2-12-6）,2-12-3 冲激响应,例2-12-1 系统微分方程如下,试求其单位冲激响应。,解：系统的单位冲激响应将满足,2-12-3 冲激响应,由式（2-12-6）可知上述微分方程的单位冲激响应为,其中，基本单位冲激响应 求解如下,针对上式可解出,2-12-3 冲激响应,为求导方便，上式改写成由单位阶跃函数 的单边约束形式,它的一阶导数为,代入 时刻由 函数引入的初始条件，可得到 。因此，基本单位冲激响应 为,因此，系统的单位冲激响应为,2-12-3 冲激响应,例2-12-2 描述系统的微分方程设为,试求其单位冲激响应。,解：系统的单位冲激响应将满足,由式（2-12-6）可知上述微分方程的单位冲激响应为,2-12-3 冲激响应,其中，基本单位冲激响应求解如下,针对上式可解出,代入 时刻由 函数引入的初始条件，可得到 因此，基本单位冲激响应 为,2-12-3 冲激响应,为求导方便，上式改写成由单位阶跃函数 的单边约束形式,因此，系统的单位冲激响应为,它的一阶和二阶导数分别为,内容

6、安排,2-12-1 自然响应,2-12-2 受迫响应,2-12-3 冲击响应,2-12-6 特征值,2-12-5 线性,2-12-4 零状态响应、零输入响应 和阶跃响应,2-12-4 零状态响应、零输入响应和阶跃响应,1、零状态响应,在章第8讲中我们曾经指出，松弛系统的响应 是任意输入信号 与系统单位冲激响应 的卷积积分。这个结论给出了一个重要的概念，即根据系统的单位冲激响应、输入信号和卷积积分模型，可以完全确定连续时间LTI系统的零状态响应 ，即,（2-12-7）,因此，系统的单位冲激响应模型描述了LTI系统在零初始条件下的特性。,2-12-4 零状态响应、零输入响应和阶跃响应,卷积积分还可以说明系统在 时， 是线性时不变系统因果性的充分条件。因为若给出系统在 时的零状态响应,（2-12-8）,则当 时 就意味着在 时， 不依赖于系统输入 ，即系统是因果的。用变量代换 ，如果 时， ，可见系统是因果的。事实上这个条件是系统因果性的充分必要条件，即一个连续时间LTI系统是因果的，当且仅当在 时， 。对于因果系统而言，式（2-12-7）等价于,（2-12-9）,2-12-4 零状态响应、

7、零输入响应和阶跃响应,2、零输入响应,系统的零输入响应 因为与系统微分方程的齐次方程完全相同，故求解与齐次解方法没有差别。,3、阶跃响应,连续时间LTI系统的单位阶跃响应与系统的沖激响应有密切的关系，应用中经常用阶跃输入信号分析LTI系统对突变信号的响应特性。,定义 连续时间LTI系统的单位阶跃响应是以单位阶跃函数 作为系统的输入信号，并且假设系统的初始状态为零时的系统输出，记为 。需要指出的是，单位阶跃函数 是在 时对系统的跳跃（由0跳跃到1）驱动。,2-12-4 零状态响应、零输入响应和阶跃响应,上式说明，连续时间LTI系统的单位阶跃响应是其单位沖激响应的积分。对上式等式两边求导数，有,根据卷积积分的概念，当系统的输入信号 时，连续时间LTI系统的零状态响应 就等于系统的单位阶跃响应 。因此， 就是 与 的卷积，即,（2-12-10）,（2-12-11）,可见连续时间LTI系统的单位沖激响应是其单位阶跃响应的一阶导数。,内容安排,2-12-1 自然响应,2-12-2 受迫响应,2-12-3 冲击响应,2-12-6 特征值,2-12-5 线性,2-12-4 零状态响应、零输入响应 和

8、阶跃响应,2-12-5 线性和时不变性,1、强迫响应对输入呈线性,由微分方程描述的连续时间LTI系统的强迫响应对系统的输入信号呈现线性性质。也就是说，假如 是系统针对输入序列 产生的强迫响应， 是系统针对输入序列 产生的强迫响应，则线性加权组合输入序列 作用于系统时将产生线性加权组合的强迫响应 。,2-12-5 线性和时不变性,2、自然响应对初始条件呈线性,2-12-5 线性和时不变性,3、强迫响应的时不变性和因果性,系统的强迫响应具有时不变特性。这是因为强迫响应要求系统是零状态（初始条件）的，当系统输入信号延迟一个时间，则强迫响应相应地也将延迟同样的时间。可以证明，强迫响应还满足因果性，因为系统处于零状态时，系统的输出不可能超前于系统的输入序列。 另一方面，由微分方程描述的连续时间LTI系统的完全响应却不是时不变的，因为系统的初始条件将产生一个不随输入延迟而延迟的输出项。,内容安排,2-12-1 自然响应,2-12-2 受迫响应,2-12-3 冲击响应,2-12-6 特征值,2-12-5 线性,2-12-4 零状态响应、零输入响应 和阶跃响应,2-12-6 特征值,连续时间LTI系统的受迫响应即取决于系统的输入，也取决于系统特征方程的特征值，因为它既包含微分方程的特解，亦包含方程的齐次解。 而系统的自然响应则完全取决于系统特征方程的特征值。 除此之外，系统的单位冲击响应也取决于系统特征方程的特征值，因为它也包含有与自然响应的函数形式相同的项。 因此，系统特征方程的特征值能够提供许多关于LTI系统特性的信息。,2-12-6 特征值,

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