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初等数学建模

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  • 卖家[上传人]:suns****4568
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    • 1、第二章 初等模型,2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化,2.1 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。,现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,若增加为21席,又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时,分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ,对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方

      2、案应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席,若增加1席,问应分给A, 还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ,即对A不公平, 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ,定义,1)若 p1/(n1+1) p2/n2 ,,则这席应给 A,2)若 p1/(n1+1) p2/n2 ,,3)若 p1/n1 p2/(n2+1),,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问:,p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现?,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数

      3、部分已将19席分配完毕,甲系:p1=103, n1=10 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系:p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大,第21席给丙系,甲系11席,乙系6席,丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗?,Q1最大,第20席给甲系,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗?,席位分配的理想化准则,已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有n1+n2+nm=N),,记qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 应是 N和 p1, , pm 的函数,即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均为整数,显然应 ni=qi,qi=Npi /P不全为整数时,ni 应满足的准则:,记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整; qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm )

      4、 ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即当总席位增加时, ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2),Q值方法满足 2),但不满足 1)。令人遗憾!,问 题,在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目?,要求,不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗?,2.2 录像机计数器的用途,经试验,一盘标明180分钟的录像带从头走到尾,时间用了184分,计数器读数从0000变到6061。,录像机计数器的工作原理,录像带运动,问题分析,观察,计数器读数增长越来越慢!,模型假设,录像带的运动速度是常数 v ;,计数器读数 n与右轮转数 m成正比,记 m=kn;,录像带厚度(加两圈间空隙)为常数 w;,空右轮盘半径记作 r ;,时间 t=0 时读数 n=0 .,建模目的,建立时间t与读数n之间的关系,(设v,k,w ,r为已知参数),模型建立,建立t与n的函数关系有多种方法,1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总

      5、长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以,2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录像带厚度 乘以转过的长度,即,3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度,有,模型建立,思 考,3种建模方法得到同一结果,但仔细推算会发现稍有差别,请解释。,模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法。,思 考,参数估计,另一种确定参数的方法测试分析,将模型改记作,只需估计 a,b,理论上,已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可,实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合,现有一批测试数据:,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型:,模 型 应 用,回答提出的问题:由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分, 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。,揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律, 当录像带的状态改变时,只需重新估计 a,b 即可。,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失,假设,热量传播只有传导,没有对流,T1,T2不变,热传导过程处于稳态,

      6、材料均匀,热传导系数为常数,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差, d材料厚度, k热传导系数,2.3 双层玻璃窗的功效,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计,,取k1/k2 =16,建模,模型应用,取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,可减少97%的热量损失。,结果分析,Q1/Q2所以如此小,是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,2.4 汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则:,背景与问题,正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时, 后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” :,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志,而不管车

      7、速如何,判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样;,建立数学模型,寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识:刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候 ,最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2. 反应距离 d1与车速 v成正比,3. 刹车时使用最大制动力F,F作功等于汽车动能的改变;,F d2= m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”,模 型,2.5 划艇比赛的成绩,对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,

      8、准备,调查赛艇的尺寸和重量,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1)艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比,2)v是常数,阻力 f与 sv2成正比,符号:艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W,艇的静态特性,艇的动态特性,3)w相同,p不变,p与w成正比,浆手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验,与模型巧合!,问题,甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图:,若不考虑双方对X,Y的偏爱,则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方

      9、案:甲占有(x,y) ,乙占有(x0 -x, y0 -y),2.6 实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1, p2对甲是无差别的,,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度,,比MN各点满意度更高的点如p3,在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线(无数条)。,无差别曲线族的性质:,单调减(x增加, y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多,宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多,就要以较多的 x换取较少的 y。,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,(f 等满意度曲线),乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质(形状可以不同),双方的交换路径,乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向),甲的无差别曲线族 f=c1,双方满意的交换方案必在AB(交换路径)上,因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p,两族曲线切点连线记作AB,p,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量 (x,y),0xx0, 0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值,设交换前x0,y0价值相同,则等价交换原则下交换路径为,(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD,AB与CD的交点p,设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0),2.7 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威慑战略”,核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样

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