《线性代数》-张翠莲-电子教案 第5章
62页1、第5章 相似矩阵与二次型,5.1 向量的内积、正交化方法 5.2方阵的特征值与特征向量 5.3 相似矩阵 5.4实对称矩阵的相似矩阵 5.5 二次型及其矩阵表示 5.6二次型的标准形 5.7 正定二次型,5.1 向量的内积、正交化方法,5.1.1向量的内积,定义1 设有 维向量,称为向量 与 的内积,向量的内积具有下列性质,令,5.1.2向量的长度,定义2 设,令,称为向量 的长度(或范数),向量的长度具有下列性质,性质1 非负性:当,时,;当,时,性质2 齐次性:,(,为实数),性质3 三角不等式,当,时,可以证明,称为,维向量,与,的夹角,当,时,称向量,与,显然,零向量与任何向量都正交.,正交,5.3.3正交向量组,定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组,两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作,正交向量组有下列性质,性质1 若,是正交向量组,则,线性无关,性质2 设,为单位正交向量组,为同维数的任一向量,若存在数,使,则,例 已知两个3维向量,正交,求一个非零向量,使,两两正交.,解 记,则,应满足齐次线性方程组,即,因为,所以同解方程组为,通解为,一基础解系
2、为,取,即可,5.1.4正交化方法(施密特(Schimidt)正交化过程 ),设,为一线性无关向量组,(1)正交化,取,依次类推,一般的,有,可以证明,两两正交,且与,等价,(2)单位化,令,则,为单位正交向量组,且,等价,例 已知,求一组非零向量,使,两两正交,解,应该满足,即,其同解方程组为,它的通解为,一基础解系为,把基础解系正交化,即为所求取,于是得,即为所求.,阶矩阵,5.1.5正交矩阵,定义4 如果,满足,那么称,为正交矩阵,简称正交阵,例如,都是正交矩阵,为正交阵,那么,正交矩阵有下列性质:,性质1 若,是可逆阵,且,或;,为正交阵,那么,性质2 若,是正交阵;,为正交阵,性质3,性质4 若,为同阶正交矩阵,则,也是正交矩阵,的特征值,非零列向量 称为方阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.2.1方阵的特征值与特征向量,定义5 设,是一个 阶方阵,如果存在数 及,维非零列向量,使得,那么,这样的数,称为方阵,的对应于(或属于) 特征值的特征向量,是方阵 的特征值, 是对应的特征向量,(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组),是方阵 的特征值,是对应于 的特征向量,是齐
3、次线性方程组,的非零解,(右式称为 的特征多项式,记为 , 称为特征方程),(设 ),5.2.2求方阵的特征值与特征向量的步骤,计算 的特征多项式 求出特征方程的所有根(重根按重数计算): 对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组 的一个基础解系,为对应于 的全部特征向量.,不全为零),则,例 求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,的特征值为,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为,例 求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,有2重特征值,,有单特征值,对于特征值,,解方程,,,得同解方程组,故得通解,所以,对应于特征值,的全部特征向量为,由,对于特征值,,解方程,得同解方程组,故得通解,对应于特征值,的全部特征向量为,重特征值算作,阶方阵,是可逆方阵,5.2.2 特征值的性质,性质1 若,的全部特征值为,(,个特征值)则:,性质2 设,的一个特征值,,为对应的特征,是,的一个特征值,,为对应,向量, 且,则,特征向量;,是方阵,性质3 设,的一个特
4、征值,,为对应的特征,是,的一个特征值,,为对应特征向量;,向量,则,是一个正整数,是方阵,性质4 设,的一个特征值,,为对应的特征,是,的一个特征值,,为对应特征向量;,向量, 若,则,的特征值都不为零,知,可逆,故,例 设3阶矩阵 的特征值为 ,求 ,解 因为,.而,所以,把上式记作,,则,故,的特征值为:,于是,的互不相同的特征值,,5.2.3特征向量的性质,是方阵,性质1 设,的一个特征值,,为对应的特征,向量,若又有数,,则,性质2 设,是方阵,是对应于,的特征向量,则向量组,即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关,线性无关,的相似矩阵,或称方阵,5.3 相似矩阵,定义6 设,都是,阶方阵,若有可逆矩阵,使,则称,是,与,相似,记作,,有,,从而, 即,如,5.3.1 相似矩阵的概念,的对应于,与,的某个特征值,若,是,5.3.2相似矩阵的性质,性质1,(因为,性质2 若,则,性质3 若,则,性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同;,性质5 设,是,是,的特征向量,则,的对应于,的特征向量,(3)可以证明,对应于 的每一个 重特征值 若正好有 个线性无
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