工程力学第九章圆柱扭转
36页1、第九章 圆轴的扭转,第一节 扭转的概念、扭矩与扭矩图 第二节 圆轴扭转时的应力与强度计算 第三节 圆轴扭转时的变形与刚度计算 小 结,当钳工攻螺纹孔时,加在手柄上两个等值反向的力组成力偶,作用于丝锥杆的上端,工件的反力偶作用在丝锥杆的下端;汽车转向盘的操纵杆,两端分别承受驾驶员作用在转向盘上的外力偶和转向器的反力偶作用。,F,F,F,F,第一节 扭转的概念、扭矩与扭矩图,一、扭转的概念,汽车传动轴,这些构件的受力特点是:两端受到一对数值相等、转向相反、作用面垂直于杆轴线的力偶作用。它们的变形特点是:各截面绕轴线产生相对转动,这种变形称为扭转变形,其上任意二截面间的相对转角称为扭转角。以扭转变形为主的构件称为轴。工程上轴的横截面多采用圆形截面或圆环形截面。,二、扭矩与扭矩图,1外力偶矩的计算 工程中作用于轴上的外力偶矩通常并不直接给出,而给出轴的转速和轴所传递的功率 它们的换算关系为 M9550P/n(Nm) (9-1) 式中, M轴扭转外力偶矩,(Nm) ; P轴的传递功率(kW) ; n轴的转速,单位为转/分(r/min)。,若已知轴上作用的外力偶矩,可用截面法研究圆轴扭转时横截面上
2、的内力。现分析如图示的圆轴,在任意m-m截面处将轴分为两段。,为保持平衡,在截面上必然存在一个作用面和截面重合的内力偶矩Mn ,与外力偶矩M平衡,这个横截面上的内力偶Mn称为扭矩。,Mn,由平衡条件Mx=0,可求得这个内力偶的大小 Mn= M,Mn,2扭矩与扭矩图,为使上述两种算法所得同一横截面处扭矩的正负号相同,特作如下规定:采用右手螺旋法则,拇指指向外法线方向。扭矩的转向与四指的握向一致时为正;反之为负。,在求扭矩时,一般按正向假设,所得为负则说明扭矩转向与所设相反。当轴上作用有多个外力偶时,须以外力偶所在的截面将轴分成数段。逐段求出其扭矩。为形象地表示扭矩沿轴线的变化情况,可仿照轴力图的方法绘制扭矩图。作图时,沿轴线方向取坐标表示横截面的位置,以垂直于轴线的方向取坐标表示扭矩。,一传动系统的主轴ABC,其转速n=960r/min,输入功率PA=27.5kW,输出功率PB=20kW,PC=7.5kW,不计轴承摩擦等功率消耗。试作ABC轴的扭矩图。,解 1)计算外力偶矩。由式(9-1)得,式中,MA为主动力偶矩,与ABC轴转向相同;MB、 MC为阻力偶矩,其转向与MA相反。,解 1)
3、计算外力偶矩。MA=274Nm; MB=199Nm; MC=75Nm,Mn1,2)计算扭矩。将轴分为两段,逐段计算扭矩。由截面法可知 Mn1=-MA=-274Nm Mn2=-MA+MB=-75Nm 3)画扭矩图。根据以上计算结果,按比例画扭矩图。 由图看出,在集中外力偶作用面处,扭矩值发生突变,其突变值等于该集中外力偶矩的大小。最大扭矩在AB段内,其值为 Mnmax=274Nm,Mn2,Mn,75Nm,274Nm,x,0,一、圆轴扭转时的应力,为了研究圆轴横截面上应力分布的情况,可先进行实验观察。在圆轴表面画若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线,两端施加个方向相反、力偶矩大小相等的外力使圆轴扭转。当扭转变形很小时,可观察到:,圆轴扭转动画,1)各圆周线的形状、大小及两圆周线的间距均不改变,仅绕轴线作相对转动;各纵向线仍为直线,且倾斜同一角度,使原来的矩形变成平行四边形 。,圆周线,纵线,圆周线,纵线,M,M,A,M,A,2)由上述现象可认为:扭转变形后,轴的横截面仍保持平面,其形状和大小不变,半径仍为直线。这就是圆轴扭转的平面假设。,第二节 圆轴扭转时的应力与强度计算,由上述可知
4、,圆轴扭转时,其横截面上各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比。由剪切胡克定律可知,横截面上各点必有切应力存在,且垂直于半径呈线性分布,即有 =K 。,Mn,max,dA,dA, =K,扭转切应力的计算如图,圆轴横截面上微面积dA上的微内力为dA ,对截面中心O的力矩为dA 。 整个横截面上所有微力矩之和应等于该截面上的扭矩Mn,则有,(9-2),Mn = KI = I / 得,(9-3),显然,当 =0时, =0;当 =R时,切应力最大,为max=MnR/I 。,(9-4),式中,Wn称为抗扭截面系数。 式(9-3)及式(9-4)均以平面假设为基础推导而得,故只有当圆轴的max不超过材料的比例极限时方可应用。,(9-3),二、极惯性矩I及抗扭截面系数Wn,圆截面对圆心 O的极惯性矩可类比求出,即,故抗扭截面系数,得,极惯性矩为,对于内径为d、外径为D的空心圆截面轴,Mn,max,式中, =d/D即为内、外径之比。空心圆截面的抗扭截面系数为,三、圆轴扭转强度计算,由式(9-3)可知,等直圆轴最大切应力发生在最大扭矩截面的外周边各点处。为了使圆轴能正常工作,必须使最大工作切应力不超过材
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