自动控制原理 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 教学课件 ppt 作者 李明富 第5章 频域分析法
100页1、第5章 频域分析法,5.1 频率特性基本概念,5.1.1 频率特性的概念,为了说明什么是频率特性,先看一个RC电路,如图5-1所示。输入和输出电压分别为ur(t)和uc(t),电路的传递函数为 式中,T=RC为电路的时间常数。 若给电路输入一个振幅为X、频率为的正弦信号,即 ur(t) = Xsint (5-1) 当初始条件为0时,输出电压的拉氏变换为图 5-1 RC电路,对上式取拉氏反变换,得出输出时域解为 上式右端第一项是瞬态分量,第二项是稳态分量。当t时,第一项趋于0,电路稳态输出为,(5-2) 式中, 为输出电压的振幅;为uc(t)与ur(t)之间的相位差。 式(5-2)表明:RC电路在正弦信号ur(t)作用下,过渡过程结束后,输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号,只是幅值变为输入正弦信号幅值的 倍,相位则滞后了arctanT。 上述结论具有普遍意义。事实上,对于任何线性定常系统,都可得到类似的结论。如对于线性定常系统,若输入端作用一个正弦信号 r(t) = Xsint (5-3) 则系统的稳态输出c(t)也一定是同频率的正弦信号,只是幅值和相角不一样,即 c(t)
2、=Ysin(t+) (5-4) r(t)和c(t)虽然频率相同,但幅值和相位不同,并且随着输入信号的角频率的改变,两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率的系统输入和输出之间的关系称为系统的频率特性。 线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式,(5-5),式中,B(s) 传递函数G(s)的m阶分子多项式,s为复变量; A(s) 传递函数G(s)的n阶分母多项式(nm); p1,p2,pn传递函数G(s)的极点,这些极点可能是实数,也可能是复数,对稳定的系统来说,它们都应该有负的实部。 由式(5-1)可知,正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) (5-6) 输出信号y(t)的拉氏变换为 C(s) = R(s)G(s) 将式(5-3)、式(5-4)代入上式得 上式可改写成(利用部分分式法) (5-7) 式中,a1,a2,b1,b2,bn待定系数,它们均可用留数定理求出。其中a1和a2是共轭复数。 将式(5-5)两边取拉氏反变换,可得,对于稳定的系统,由于极点p1,p2,pn都具有负实部,所以当t时, 都将衰减到零。这时输出信号C(t)只由式(5-6)中的第一项和第二
3、项决定,即稳态输出c()为 (5-9) 式(5-7)中的待定系数a1和a2可分别由留数定理求得 (5-10) 上式中G(j)和G(j)都是复数,可以用极坐标形式表示为 (5-11) 将式(5-8)、式(5-9)代入式(5-7)得,式中, 。式(5-12)表明,线性定常系统在正弦输入信号r(t)=Xsint的作用下,稳态输出信号c()仍是与输入信号相同频率的正弦信号,只是振幅与相位不同,输出信号c()的振幅Y是输入信号振幅X的|G(j)|倍,相位移为 = ,且都是角频率的函数。相位移为正时,表示输出信号c()的相位超前输入信号r(t)的相位;相位移为负时,表示输出信号c()的相位滞后输入信号r(t)的相位。 如果改变输入信号r(t)的频率,则|G(j)|和 也随之改变。线性定常系统在 正弦输入时,稳态输出c()与输入r(t)的振幅比 和相位移 = 随频率而变化的函数关系,分别称为幅频特性和相频特性,并分别用M()和()表示,即 M () = |G ( j)| () = M()和 ()合起来称为系统的频率特性。 由式(5-11)可知,|G (j)|和 可以由G (j)来统一表示,即 G (
4、j) = |G(j)| (5-13),从以上分析可知,若将传递函数中的s以j代替,就得到频率特性,即G(j)=G(s)|s=j。可以证明,这个结论对于结构稳定的线性定常系统(或环节)都是成立的。所以,如已知系统(或环节)的传递函数,只要用j置换其中的s,就可以得到该系统(或环节)的频率特性。 反过来看,如果能用实验方法获得系统(或元部件)的频率特性,又给确定系统(或元部件)的传递函数提供了依据。,5.1.2 频率特性的表示方法,1数学表示方法 频率特性是一个复数,所以它和其他复数一样,可以表示为指数、直角坐标和极坐标等几种形式,如图5-2所示。 频率特性的几种表示方法如以下各式。 G(j) = P() + jQ()(直角坐标表示式) = |G(j)|G(j)(极坐标表示式) = M()ej()(指数表示式) 式中,P()和Q()分别称为系统(或元件)的实频 特性和虚频特性。 图5-2 G(j)在复平面上的表示,由图5-2所示几何关系知,幅频、相频特性与实频、虚频特性之间的关系为 P () = M ()cos () (5-14) Q () = M ()sin () (5-15),(5-1
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