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《电工技术基础》电子教案 第5章 一阶动态电路分析

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    • 1、电工技术基础,主编 李中发 制作 李中发 2004年7月,学习要点,一阶电路的三要素分析法 暂态和稳态以及时间常数的意义 一阶电路的经典分析法 零输入响应、零状态响应和全响应,第5章 一阶动态电路分析,第5章 一阶动态电路分析,5.1 换路定理 5.2 一阶动态电路分析方法 5.3 零输入响应和零状态响应 5.4 微分电路和积分电路,5.1 换路定理,过渡过程:电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态,电压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。,含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。动态电路的伏安关系是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式。,一阶电路:用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。,产生过渡过程的条件:电路结构或参数的突然改变。,产生过渡过程的原因:能量不能跃变,电感及电容能量的存储和释放需要时间,从而引起过渡过程。,5.1.1 电路产生过渡过程的原因,换路:电路工作条件发生变化,如电源的接通或切断,电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。,换路定理:电容上的电压uC及电感中的电流iL在换路前后瞬间的值是相等的,即

      2、:,必须注意:只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持不变,电路中其他电压、电流都可能发生跃变。,5.1.2 换路定理,例:图示电路原处于稳态,t=0时开关S闭合,US=10V,R1=10, R2=5,求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。,解:由于在直流稳态电路中,电容C相当于开路,因此t=0-时电容两端电压分别为:,在开关S闭合后瞬间,根据换路定理有:,由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路,如图所示。由图得:,例:图示电路原处于稳态,t=0时开关S闭合,求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。,解:由于在直流稳态电路中,电感L相当于短路、电容C相当于开路,因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为:,在开关S闭合后瞬间,根据换路定理有:,由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路,如图所示。由图得:,u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出,为:,5.2 一阶动态电路的分析方法,任何一个复杂的一阶电路,总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。,因此,对一阶电路的分析,实际上可归结为对简单的RC电路和RL电

      3、路的求解。一阶动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。,1RC电路分析,图示电路,t=0时开关S闭合。根据KVL,得回路电压方程为:,从而得微分方程:,而:,5.2.1 经典分析法,解微分方程,得:,只存在于暂态过程中, t时uC0,称为暂态分量。,其中uC=US为t时uC的值,称为稳态分量。,=RC称为时间常数,决定过渡过程的快慢。,波形图:,电路中的电流为:,电阻上的电压为:,iC与uR的波形,2RL电路分析,图示电路,t=0时开关S闭合。根据KVL,得回路电压方程为:,因为:,从而得微分方程:,解之得:,稳态分量,暂态分量,式中=L/R为时间常数,经典法求解一阶电路的步骤: (1)利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系,根据换路后的电路列出微分方程; (2)求微分方程的特解,即稳态分量; (3)求微分方程的补函数,即暂态分量; (4)将稳态分量与暂态分量相加,即得微分方程的全解; (5)按照换路定理求出暂态过程的初始值,从而定出积分常数。,例:图(a)所示电路原处于稳态,t=0时开关S闭合,求开关闭合后的电容电压uC和通过3电阻的电流i。,解:用戴微南定理将图(a)所示开关闭合后的电

      4、路等效为图(b),图中:,对图(b)列微分方程:,解微分方程:,由图(a)求uC的初始值为:,积分常数为:,所以,电容电压为:,通过3电阻的电流为:,5.2.2 三要素分析法,求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为:,式中,f(0+)为待求电流或电压的初始值,f()为待求电流或电压的稳态值,为电路的时间常数。 对于RC电路,时间常数为:,对于RL电路,时间常数为:,例:图示电路,IS=10mA,R1=20k,R2=5k,C=100F。开关S闭合之前电路已处于稳态,在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的uC。,解:(1)求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态,故在瞬间电容C可看作开路,因此:,(2)求稳态值。当t=时,电容C同样可看作开路,因此:,(3)求时间常数。将电容支路断开,恒流源开路,得:,时间常数为:,(4)求uC。利用三要素公式,得:,例:图示电路,US1=9V,US2=6V ,R1=6,R2=3,L=1H。开关S闭合之前电路已处于稳态,在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的iL和u2。,解:(1)求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态,故在

      5、瞬间电感L可看作短路,因此:,(2)求稳态值。当t=时,电感L同样可看作短路,因此:,(3)求时间常数。将电感支路断开,恒压源短路,得:,时间常数为:,(4)求iL和u2。利用三要素公式,得:,5.3 零输入响应和零状态响应,5.3.1 一阶电路响应的分解,根据电路的工作状态,全响应可分解为稳态分量和暂态分量,即:,全响应=稳态分量+暂态分量,根据激励与响应的因果关系,全响应可分解为零输入响应和零状态响应,即:,全响应=零输入响应+零状态响应,零输入响应是输入为零时,由初始状态产生的响应,仅与初始状态有关,而与激励无关。零状态响应是初始状态为零时,由激励产生的响应,仅与激励有关,而与初始状态无关。,将一阶RC电路中电容电压uC随时间变化的规律改写为:,零输入响应,零状态响应,将一阶RL电路中电感电流iL随时间变化的规律改写为:,零输入响应,零状态响应,例:图示电路有两个开关S1和S2,t0时S1闭合,S2打开,电路处于稳态。t=0时S1打开,S2闭合。已知IS=2.5A,US=12V,R1=2,R2=3,R3=6,C=1F。 求换路后的电容电压uC,并指出其稳态分量、暂态分量、零输入响

      6、应、零状态响应,画出波形图。,解:(1)全响应=稳态分量+暂态分量,稳态分量,初始值,时间常数,暂态分量,全响应,(2)全响应=零输入响应+零状态响应,零输入响应,零状态响应,全响应,5.3.2 一阶电路的零输入响应,1一阶RC电路的零输入响应,图示电路,换路前开关S置于位置1,电容上已充有电压。t=0时开关S从位置1拨到位置2,使RC电路脱离电源。根据换路定理,电容电压不能突变。于是,电容电压由初始值开始,通过电阻R放电,在电路中产生放电电流iC。随着时间增长,电容电压uC和放电电流iC将逐渐减小,最后趋近于零。这样,电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电容的初始状态所引起,故为零输入响应。,由初始值uC(0+)=U0,稳态值uC()=0,时间常数=RC,运用三要素法得电容电压:,放电电流,放电过程的快慢是由时间常数决定。 越大,在电容电压的初始值U0一定的情况下,C越大,电容存储的电荷越多,放电所需的时间越长;而R越大,则放电电流就越小,放电所需的时间也就越长。相反,越小,电容放电越快,放电过程所需的时间就越短。,从理论上讲,需要经历无限长的时间,电容电压uC才

      7、衰减到零,电路到达稳态。但实际上,uC开始时衰减得较快,随着时间的增加,衰减得越来越慢。经过t=(35)的时间,uC已经衰减到可以忽略不计的程度。这时,可以认为暂态过程已经基本结束,电路到达稳定状态。,2一阶RL电路的零输入响应,图示电路,换路前开关S置于位置1,电路已处于稳态,电感中已有电流。在t=0时,开关S从位置1拨到位置2,使RL电路脱离电源。根据换路定理,电感电流不能突变。于是,电感由初始储能开始,通过电阻R释放能量。随着时间的增长,电感电流iL将逐渐减小,最后趋近于零。这样,电感存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始状态所引起,故为零输入响应。,由初始值iL(0+)=I0,稳态值iL()=0,时间常数=L/R,运用三要素法得电感电流:,电感两端的电压,RL电路暂态过程的快慢也是由时间常数来决定的。越大,暂态过程所需的时间越长。相反,越小,暂态过程所需的时间就越短。且经过t=(35)的时间,iL已经衰减到可以忽略不计的程度。这时,可以认为暂态过程已经基本结束,电路到达稳定状态。,5.3.3 一阶电路的零状态响应,1一阶RC电路的零状态响应,图示电路,换

      8、路前开关S置于位置1,电路已处于稳态,电容没有初始储能。t=0时开关S从位置1拨到位置2,RC电路接通电压源US。根据换路定理,电容电压不能突变。于是US通过R对C充电,产生充电电流iC。随着时间增长,电容电压uC逐渐升高,充电电流iC逐渐减小。最后电路到达稳态时,电容电压等于US,充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能为零,响应仅由外加电源所引起,故为零状态响应。,由初始值uC(0+)=0,稳态值uC()= US,时间常数=RC,运用三要素法得电容电压:,充电电流,RC电路充电过程的快慢也是由时间常数来决定的,越大,电容充电越慢,过渡过程所需的时间越长;相反,越小,电容充电越快,过渡过程所需的时间越短。同样,可以根据实际需要来调整电路中的元件参数或电路结构,以改变时间常数的大小。,2一阶RL电路的零状态响应,图示电路,换路前开关S置于位置1,电路已处于稳态,电感没有初始储能。t=0时开关S从位置1拨到位置2,RL电路接通电压源US。根据换路定理,电感电流不能突变。于是US通过R对L供电,产生电流iL。随着时间增长,电感电流iL逐渐增大,最后电路到达稳态时,电感电流等于US/R。可见电路换路后的初始储能为零,响应仅由外加电源所引起,故为零状态响应。,由初始值iL(0+)=0,稳态值iL()= US/R,时间常数=L/R,运用三要素法得电感电流:,电感两端的电压,RL电路暂态过程的快慢也是由时间常数来决定的。越大,暂态过程所需的时间越长。相反,越小,暂态过程所需的时间就越短。且经过t=(35)的时间,iL已经衰减到可以忽略不计的程度。这时,可以认为暂态过程已经基本结束,电路到达稳定状态。,5.4 微分电路与积分电路,5.4.1 微分电路,条件: (1)时间常数tw; (2)输出电压从电阻两端取出。,5.4.2 积分电路,条件: (1)时间常数tw; (2)输出电压从电容两端取出。,

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