高三数学总复习指导（理科）专题八 解析几何

1、 今天比昨天好 这就是希望 高中数学小柯工作室 专题八 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题81 直角坐标系【知识要点】1数轴上的基本公式设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OBx2，OAx1，称x2x1叫做向量的坐标或数量，即数量ABx2x1；数轴上两点A，B的距离公式是d(A，B)|AB|x2x1|2平面直角坐标系中的基本公式设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公式是A，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是3空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离公式是【复习要求】 1掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法

2、(也称为解析法)解决简单的几何问题2了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)x31；(2)|x34；(3)1|x34略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则x31表示点A到点B的距离等于1，如图811所示，图811所以，原方程的解为x4或x2(2)与(1)类似，如图812，图812则x34表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为x1x7(3)与(2)类似，解不等式1x3，得解集x|x4，或x2，将此与不等式|x34的解集x|1x7取交集，得不等式1|x34的解集为x1x2，或4x7【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式xa的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2PC2PB2PD2解：如图813，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系图813设ABa，ADb，则 A(

3、0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，设P(x，y)，则x2y2(xa)2(yb)2， x2y2(xa)2(yb)2，所以PA2PC2PB2PD2【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便例3 已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，1)，B(2，0，2)(1)求A，B两点的距离；(2)在x轴上求一点P，使PA|PB|；(3)设M为xOy平面内的一点，若|MAMB，求M点的轨迹方程解：(1)由两点间的距离公式，得(2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得，即a22a6a24a8，解得a1，所以P(1，0，0)(3)设M(x，y，0)，则有整理可得x2y10所以，M点的轨迹方程为x2y10【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用练习81一、选择题1数轴上三点A，B，C的坐标分别为3，1，5，则ACCB等于( )A4B4C12D122若数轴上有两点A(x)，B(x2)(其中xR)，则向量的数量的最小值为( )AB0C

4、D3在空间直角坐标系中，点(1，2，3)关于yOz平面的对称点是( )A(1，2，3)B(1，2，3)C(1，2，3)D(1，2，3)4已知平面直角坐标内有三点A(2，5)，B(1，4)，P(x，y)，且AP|BP|，则实数x，y满足的方程为( )Ax3y20Bx3y20Cx3y20Dx3y20二、填空题5方程x23的解是_；不等式x32的解为_6点A(2，3)关于点B(4，1)的对称点为_7方程x2x34的解为_8如图814，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|DA|3，|DC4，|DD1|2，A1C的中点为M，则点B1的坐标是_，点M的坐标是_，M关于点B1的对称点为_图814三、解答题9求证：平行四边形ABCD满足AB2BC2CD2DA2AC2BD210求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形11在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|PB的最小值82 直线的方程【知识要点】1直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条

5、直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线2直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角因此，倾斜角a 的取值范围是0a 180我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线ykxb上任意两点，其中x1x2，则斜率倾斜角为90的直线的斜率不存在，倾斜角为a 的直线的斜率ktana (a 90)3直线方程的几种形式点斜式：yy1k(xx1)；斜截式：ykxb；两点式：一般式：AxByC0(A2B20)4两条直线相交、平行与重合的条件设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则(1)l1与l2相交A1B2A2B10或(2)l1与l2平行(3)l1与l2重合当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则l1与l2相交k1k2；l1l2k1k2，b1b2；l1与l2重合k1k2，b1b25两条直线垂直的条件设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1 B20当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1

6、，k2，则l1l2k1k216点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：AxByC0的距离d的计算公式【复习要求】1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系2掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标【例题分析】例1(1)直线的斜率是_，倾斜角为_；(2)设A(2，3)，B(3，2)，C(1，1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交，则斜率k的取值范围为_略解：(1)直线可以化简为所以此直线的斜率为，倾斜角(2)如图821，设直线AC的倾斜角为a ，图821因为此直线的斜率为，所以设直线BC的倾斜角为b ，因为此直线的斜率为所以因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角q 满足a q b ，由正切函数图象，得tanq tana 或tanqtanb，故l斜率k的取值范围为【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：已知直线的倾斜角a，当a90时，ktana；已知直线上两点的坐

7、标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1x2时，k；已知直线的方程AxByC0，当B0时，k(2)已知直线的斜率k求倾斜角a 时，要注意当k0时，a arctank；当k0时，a parctan|k|例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P(2，1)，且点Q(1，2)到直线的距离为1解：(1)设所求直线方程为y3k(x2)，或x2(舍)，令y0，得x2(k0)；令x0，得y32k，由题意，得232k，解得k或k1，所以，所求直线方程为3x2y0或xy50；(2)设所求直线方程为y1k(x2)或x2，当直线为y1k(x2)，即kxy(2k1)0时，由点Q(1，2)到直线的距离为1，得1，解得，所以，直线，即4x3y50符合题意；当直线为x2时，检验知其符合题意所以，所求直线方程为4x3y50或x2【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况例3 已知直线l1：(m2)x(m2)y10，l2：(m24)xmy30，(1)若l1l2，求实数m的值；(2)若l1l2，求实数m的值解法一：(1)因为l1l2，所以(m2)(m)(m2)(m24)，解得m2或m1或m4，验证知两直线不重合，所以m2或m1或m4时，l1l2；(2)因为l1l2，所以(m2)(m24)(m)(m2)0，解得m2或m1或m4解法二：当l1斜率不存在，即m2时，代入直线方程，知l1l2；当l2斜率不存在，即m0时，代入直线方程，知l1与l2既不平行又不垂直；当l1，l2斜率存在，即m0，m2时，可求l1，l2，如的斜率分别为k1，k2，截距b1，b2，若l1l2，由k1k2，b1b2，解得m2或m1或m4，若l1l2，由k1k21，解得m1或m4综上，(1)当m2或m1或m4时，l1l2；(2)当m2或m1或m4时，l1l2【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过

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