13.3.2 等腰三角形的判定 zhang

1、一、复习引入,定义：,(三线合一),等腰三角形,有两边相等的三角形是等腰三角形。,性质1：,等腰三角形的两个底角相等。,(等边对等角),性质2：,等腰三角形的底边上的中线和高线、顶角平分线互相重合。,O,A,B,如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得A=B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？,问题情境 ：,探究新知, 操作一,做一做,你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？, 操作二,量一量，线段AB与AC的长度。,画ABC.使BC30,AB=AC,怎样用数学推理进行证明呢？,A,B,C,D,已知：如图,在ABC中，B=C。 求证：AB=AC,你还有其他证法吗?,证明:,作BAC的平分线AD,1=2,在BAD和CAD中,如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等,B=C(已知),1=2(已证),AD=AD (公共边), AB= AC (全等三角形的对应边相等), BAD CAD (A.A.S.),证明：作ADBC，垂足为D ADB= ADC=900 在 BAD和CAD中， B=C(已知) A

2、DB= ADC(已证) AD=AD(公共边） BADCAD（A.A.S.） AB=AC（全等三角形的对应边相等）,已知：如图,在ABC中，B=C。 求证：AB=AC,D,如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,几何语言： B =C (已知) AB=AC(等角对等边),等腰三角形的判定定理：,(简写成“等角对等边”)。,注意：在同一个三角形中应用哟！,等腰三角形的性质与判定有区别吗?,性质是:1.等边 等角 2.三线合一,判定是:等角 等边,已知:如图,DEBC,1=2.求证:BD=CE.,证明： DEBC 1=B,2=C 1=2 AD=AE(等角对等边) B=C(等量代换) AB=AC (等角对等边) AB-AD=AC-AE 即 BD=CE,已知：如图，ADBC，BD平分ABC 求证：AB=AD,证明： ADBC ADB=DBC BD平分ABC ABD=DBC ABD=ADB(等量代换) AB=AD(等角对等边) AB=AC (等角对等边),已知：在ABC 中，1=3,2=4，AD平分BAC。求证：ADBC,证明： 1=3,2=4 1+2=3+4 即 ABC=ACB A

3、B=AC (等角对等边) AD平分BAC BAD=CAD AD在等腰ABC 的顶角的角平分线上 ADBC (等腰三角形的“三线合一”),例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得NAC=40NBC=80求从B处到灯塔C的距离,解： NAC=40NBC=80 C=NBC-NAC =80-40 = 40 C = A BA=BC（等角对等边） AB=20（12-10）=40（海里） BC=40 （海里） 答：B处到达灯塔C的距离为40海里。,小试牛刀,在ABC中，AB=AC，ABC和ACB的平分线交于点O.过O作EFBC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系,2ABO ，3ACO,若ABAC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？,解：,EF=BE+CF,理由如下：, EFBC,12 ，34, BO、CO分别平分ABC、ACB,1ABO 4ACO,BEEO FC=FO (等角对等边), EF=EO+FO,EFBE+FC,求证：如果三角形一个外角的平分线平

4、行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。,已知：如图，CAE是ABC的外角， 1=2，ADBC,求证：AB=AC,分析：要证AB=AC，就要证B=C，而已知有1= 2，只要找出B、 C与1、 2的关系就可以了。,解：ADBC 1= B (两直线平行，同位角相等） 2 C(两直线平行，内错角相等） 1= 2 B C(等量代换) AB=AC (等角对等边）,已知：如图，CAE是ABC的外角， 1=2，ADBC。求证：AB=AC,从以上讲解我们可以得到什么结论？,已知：在ABC中，A=B=C 求证：AB=AC=BC,这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法。,推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。,符号语言： 在ABC 中， A=B =C ， ABC 是等边三角形,细心观察，探索性质,等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形,60,你又可以得到什么？,已知：在等腰ABC中，AB=AC，A=60(或者B=60） 求证：AB=AC=BC,推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。,这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形

5、是等边三角形的另外一种方法。,等边三角形的判定定理2： 有一个角为60的等腰三角形是等边三角形,符号语言： 在ABC 中， BC =AC，A =60 ABC 是等边三角形,证明： ABC 是等边三角形， A =B =C =60 DEBC， ADE =B =60 ， AED=C =60 A=ADE =AED =60 ADE 是等边三角形,ABC 是等边三角形，DEBC, 分别交AB，AC 于点D，E求证：ADE 是等边三角形.,证明： ABC 是等边三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC ABC =D=60 ACB =E =60 A =D =E =60 ADE 是等边三角形,动脑思考，变式训练,变式1：若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？,变式2：若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？,证明： ABC 是等边三角形 BAC =B =C =60 DEBC B =D =60 C =E =60 EAD =D =E =60 ADE 是等边三角形,证明：延长BC 到D，使BD =AB，连结AD， AC B=90，BAC

6、=30, B =180 -ACB - BAC =180-90-30 = 60 ABD 是等边三角形(有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形) 由等边三角形的性质可知，AC 也是BD 边上的中线，,已知：如图，在RtABC 中，C =90，A = 30. 求证：BC = AB,D, BC = BD = AB ,追问：你还能用其他方 法证明吗？,30,60,证明：作BCE =60，交AB于E，连结CE， ACB =90 ACE =90-60=30 在ABC中 ACB=90，A =30 B =90 -A=60 在BCE 中， BCE=60,B =60 BEC =BCE =B =60 BCE 是等边三角形 BC =BE =CE,E,已知：在RtABC 中，C =90，A =30. 求证：BC = AB,在ACE 中， A=30，ACE =30 AEC是等腰三角形 CE =AE BC =BE =CE =AE, BC = AB,60,30,30,60,符号语言： 在RtABC 中， C =90，A =30，,动手操作，探索性质,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一

7、半., BC = AB,30,5,课堂练习,练习1 如图，在ABC 中，C =90，A = 30，AB =10，则BC 的长为 ,30,1,课堂练习,练习2 如图，在ABC 中，ACB =90，CD 是 高，A =30，AB =4则BD = .,30,4,2,60,30,如图，已知P、Q是ABC的边BC上两点，并且BPPQQCAPAQ，求BAC的大小,X0,X0,2X0,X0,2X0,2X0,X0,X0+X0+2X0+X0+X0=1800,解得 X0=300, BAC=4300=1200,如图，已知P、Q是ABC的边BC上两点，并且BPPQQCAPAQ，求BAC的大小,解：PQ=AP=AQ PAQ=APQ=AQP= 600 B+BAP=APQ=600 C+CAQ=AQP=600 AP=BP,QC=AQ, B=BAP=300 C=CAQ=300， BAC=BAP+PAQ+CAQ=300+600+300=1200,1、如图，A=36，DBC=36，C=72。分别计算1、2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。,72,等腰三角形有： ABC，ABD， BCD。,36,36,72,36,2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？,解：根据题意，得 D=F，AD=CF 在DEA和FEC中,DEA=FEC(对顶角相等),D=F(已证),AD=CF(已证),DEAFEC(A.A.S.),EA=EC(全等三角形的对应边相等),AEC是等腰三角形,3、如图，AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB。 求证：OC=OD。,5、已知：如图，AD BC，BD平分ABC。求证：AB=AD,证明： AD BC ADB=DBC BD平分ABC ABD=DBC ABD=ADB AB=AD,4、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。,等腰直角三角形有： ABC ，ACD ，BCD。,

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