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高等数学下册教学课件 ppt 作者蒋国强第7章 D7_1向量及其线性运算

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1、第七章,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间的点,坐标,方程（组）,空间的图形（线, 面）,机动目录上页下页返回结束,向量代数与空间解析几何,机动目录上页下页返回结束,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向余弦、投影,向量及其线性运算,第七章,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,既有大小, 又有方向的量称为向量,自由向量:,与起点终点位置无关的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,规定: 零向量与任何向量平行 ;,则称 a 与,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,b 相等,机动目录上页下页返回结束,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,机动目录上页下页返回结束,2. 向量的减法,机动目录上页下页

2、返回结束,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,总之:,运算律 :,结合律,分配律,记作,机动目录上页下页返回结束,结论1:,( 为唯一实数),因此,结论2:,机动目录上页下页返回结束,例1. 设 M 为,解:,机动目录上页下页返回结束,作业,P12 2, 3,机动目录上页下页返回结束,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,机动目录上页下页返回结束,向径,在直角坐标系下,点 M,有序数组,(称为点 M 的坐标),机动目录上页下页返回结束,2. 向量的坐标表示,沿三个坐标轴方向的分向量.,机动目录上页下页返回结束,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,机动目录上页下页返回结束,例2. 已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,机动目录上页下页返回

3、结束,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,机动目录上页下页返回结束,五、向量的模、方向余弦、投影,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,1. 向量的模与两点间的距离公式,机动目录上页下页返回结束,例3. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,为顶点的三角形是等腰三角形 .,机动目录上页下页返回结束,例4. 在 z 轴上求与两点,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,等距离的点 .,例5. 已知两点,和,解:,求,机动目录上页下页返回结束,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动目录上页下页返回结束,方向余弦的性质:,机动目录上页下页返回结束,例6. 已知两点,和,的模、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,机动目录上页下页返回结束,例7. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,轴的夹角依次为,求点 A 的,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y,坐标 .,机动目录上页下页返回结束,3. 向量在轴上的投影,任给向量,，过 r 的终点M作平面垂直,于u轴，,称为向量r在u轴上的分向量,设u轴上的单位向量为,，则,设,，则,机动目录上页下页返回结束,例8. 设,解: 因,求向量,在 x 轴上的投影及在 y,轴上的分向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,机动目录上页下页返回结束,作业,P12 6 , 8, 11，13，16,

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