六、 动力学问题的有限元法

1、第六单元 动力学问题的有限元法,第一节 变形体动力学问题概述,变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。,这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程结构、弹性介质。,根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性，一般意义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。,指边界条件和/或体力变化缓慢，或者物体内加速度分布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程中忽略了惯性项，但载荷是时间的函数。在某时刻t，采用动静法将整体惯性力转化为体力，或者忽略惯性力。对应此刻载荷的静力学解作为t时刻的解。工程上可取随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态解。,尽管这种静态情况在实际上并不存在，但作为一种基本力学模型，在工程实践上具有重要意义。很多实际问题可近似归入准静态问题，而满足工程上的精度要求。,准静态问题,通过这种近似处理，可以避免大量的动力学模型解算，而在有限的计算机资源下，可把实际问题的模型在准静态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下，由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假设产生的误差。,至于哪些问题可作准静态来处理，需要

2、综合考虑分析目的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资源情况等。,结构动力学问题,该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应分析；响应谱分析等。,就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是，载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作用随时间剧烈变化的载荷。,结构动力学问题在工程中具有普遍性。,弹塑性动力学问题,这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击，人工地震勘探，无损探伤等。,这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。,这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件高速碰撞或爆炸载荷产生。,对于上述后两类问题，描述质点平衡和运动的微分方程相同，包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要是有限元法。,第二节 动力学问题的有限元方程,在连续介质的

3、动力学问题中，描述力学参量的坐标是四维：3个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求解时，只对空间区域进行离散化，得到离散多自由度系统的动力学模型。,其有限元法步骤与静力学问题相同。只是在单元上对随时间变化的节点位移进行插值，得到单元内随时间变化的假设位移场：,为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 和阻尼力 ，则系统的动力学问题转化为等效静力学问题。对等效系统应用虚功原理：,将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离散系统控制方程结构有限元动力学方程：,方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。,上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成：,其中：,单元质量矩阵,单元刚度矩阵,单元阻尼矩阵,单元等效节点力向量,如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：,上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动方程。,从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常

4、微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连续的。,当求解该微分方程组，得出节点位移响应后，其它计算步骤与静力分析相同。,有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分方程组解法，但由于实际问题有限元模型的阶数往往很高，用常规方法不经济，通常采用一些对有限元方程有效的解法，主要分为两类：直接积分法和振型叠加法。,第三节 质量矩阵和阻尼矩阵,1、协调质量矩阵和集中质量矩阵,该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出，还表示质量在单元上呈某种分布。,此外，有限元中还经常采用集中质量矩阵，它是一个对角矩阵，由假定单元质量集中在节点上得到。,上节导出的单元质量矩阵为：,对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量矩阵为：,该单元的集中质量矩阵为：,实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。,在波传播问题和高速瞬态非线性分析中，通常采用显式动力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。,2、阻尼

5、矩阵,单元阻尼矩阵：,称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点运动速度得到的，属于粘性阻尼。显然，这种阻尼阵与质量矩阵成正比。,对结构而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料内部摩擦效应引起的能量耗散，但这种耗散机理尚未完全清楚，更难以用数学模型表达，故通常假设这种情况的阻尼力正比于应变速率，从而可导出比例于单元刚度矩阵的单元阻尼阵，大多数情形下足够精确。,上述两种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼。其比例系数一般依赖于频率，很难精确确定。,一个通行的方法是将结构的阻尼矩阵简化为结构刚度阵和结构质量阵的线性组合：,其中，是不依赖于频率的常数。这种振型阻尼称为Rayleigh阻尼。当= 0时，较高阶振型受到的阻尼较大；当= 0 时，较低阶振型受到的阻尼大。,由于系统的固有振型对于结构质量矩阵和结构刚度矩阵具有正交性，因此，系统振型对上述Rayleigh阻尼矩阵也是正交的。所以这类阻尼矩阵又称为振型阻尼。,采用振型阻尼矩阵后，可以利用系统振型对动力学方程进行变换，得到解耦的方程组，使每个方程可以独立求解，给计算带来方便。,第四节 结构自振频率和振型,其中 是n阶向量，表示有限元离散结构所有

6、自由度的振幅，是该向量振动的频率。将上式代入自由振动方程得到：,研究结构自由振动特性。设阻尼和外力均为零，则结构自由振动有限元运动方程为：,设各自由度作简谐运动：,该方程描述的问题称为广义特征值问题。,其中特征值： 代表系统的n个固有频率，并有：,特征向量： 代表系统的n个固有振型，或称为主振型。其幅度是不确定的，但可以用下列方法对其正则化：,求解该问题可以得到n对特征解（特征对）,这样的固有振型又称为正则振型，以后默认所谓固有振型即是指这种正则振型。,容易证明，固有振型具有对M和K的正交性：,定义：,它们分别称为固有振型矩阵和固有频率矩阵,利用固有振型矩阵和固有频率矩阵，结构固有振型的正交性质可以表示成：,原来的特征值问题可以表示成：,固有频率和固有振型是一个结构自由振动的基本特性，也是结构动态特性的基本要素。,求解结构自由振动的广义特征值问题，由于系统自由度很多，而研究系统动态响应和动态特性时，往往只需要少数低阶特征值和特征向量。因此在有限元分析中发展了许多针对上述特点的效率较高的算法。其中应用最广泛的有Lanczos法、子空间迭代法、逆迭代法等。,第五节 瞬态响应分析,瞬态响应分

7、析是计算动力强迫响应分析的最一般方法。其目的是计算结构受随时间变化激励作用下的行为。瞬态激励定义在时间域中，每个瞬时的大小已知。激励可以是作用力和强迫运动。,根据结构和载荷的性质，可以用两种不同的数值方法进行瞬态响应分析：直接积分法和振型叠加法。前者对全耦合的有限元离散运动方程直接进行积分；后者利用主振型对运动方程进行变换和解耦，结构的响应根据相应于各振型的响应累加而成。,1、直接积分法,第一，将求解时间域0tT内任何时刻t都满足运动方程的要求降低为在相隔t的离散时间点上满足运动方程。,直接积分法的两个前提：,第二，在离散时间点之间的t区域，对位移，速度，加速度进行假设。相当于对运动微分方程组在时间域进行离散化，并逐点求解。,直接积分法概述：,直接积分法的时间离散化方程有显式和隐式两类。在显式方程中，由 t 时刻的运动方程求t+t时刻的位移；而隐式方法是从与t+t时刻运动方程关联的表达式中求t+t时刻的位移。,显式方法要求很小的时间步长，但每步求解所需计算量较小；而隐式方法允许较大的时间步长，但每一步求解方程的耗费较大。,大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构最小周期的一定比例

8、时，计算得到的位移和速度将发散或得到不正确的结果；,隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而不是稳定性方面的考虑。,典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思想如下。,t+t时刻的位移解 从t时刻的运动方程建立：,中心差分法,将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：,将加速度和速度的差分格式代入上式，得到：,上式就是求离散时间点上位移解的递推公式。但该算法有起步问题（见P449）。,中心差分法特点如下：,1）是显式算法，并且当质量阵和阻尼阵都是对角阵时，利用该递推公式求解运动方程时不需要进行矩阵求逆，这个特点在非线性问题中将更有意义。,3）中心差分法适合用于考虑波传播效应的线性、非线性响应分析。但是对于结构动力学问题中的瞬态响应分析，不适合采用中心差分法，因为这类问题，重要的是较低频的响应成分，允许采用较大的时间步长。通常采用无条件稳定的隐式算法。,应用最广泛的一种隐式算法是Newmark方法。,在积分区间上采用如下的速度、位移假设：,Newmark方法,通过t+t时刻的运动方程来决定t+t时刻的位移解 ，即：,从上面三个方程联立可推出从 t 时刻的运动参量计算 t+t 时刻位

9、移的公式：,由于从上式求解 t+t 时刻位移时需要对非对角的等效 刚度阵求逆，因此称为隐式算法。,当算法中的参数满足一定条件时，该算法是无条件稳定 的。此时，步长的选择取决于解的精度，可以根据对结 构响应有主要贡献的若干基本振型的周期来确定。通常 可取为所要考虑的基本振型周期中最小周期的二十分之 一。,对结构动力学问题，所关心的较低阶振型的周期比全系统的最小周期大得多，也就是无条件稳定的隐 式算法可以采用比有条件稳定的显式算法大得多的时间步长，而采用较大时间步长还可以滤掉不精确的高阶响应成分。,2、振型叠加法,振型叠加法是计算结构瞬态响应的另一种数值方法。该方法利用结构固有振型对动力学方程组进行变换，缩减未知量规模，并对运动方程组进行解耦，大幅度提高数值求解的效率。,由于在结构动力学分析过程中，计算固有频率、固有振型是评价结构动态特性之必需，故振型法响应分析是常规模态分析的自然延伸。,此变换的意义： 变换把结构的瞬态位移响应从以有限元网格节点位移为基向量n维空间转换到以固有振型为基向量的n维空间。这里 看成广义位移基向量，xi 是广义位移分量。数学上看，是离散系统位移在两个不同向量空间之间的变换。,振型叠加法的基本思想如下。,首先引入变换：,其中：,并且两边左乘 ，并考虑到 的正交性，则得到新向量空间内的运动方程：,将上述变换代入有限元运动方程,如果方程中的阻尼矩阵是振型阻尼阵，利用主振型的正交性可得：,其中i定义为第i阶振型的阻尼比。在此情况下，上面变换后的方程就成为n个相互独立的二阶常微分方程：,在求出每个振型坐标上的位移分量xi后，再按前面的变换关系得到节点自由度上的位移响应：,从上面的过程可以看出，振型叠加法似乎需要以求解n阶广义特征值问题为代价来获得非耦合的n个单自由度系统运动方程，以提高方程求解效率。 当模型的规模很大时，求n阶广义特征值问题的计算耗费极高。事实上，对于实际问题，通常只需要利用前面较少数目的振型进行坐标变换就能得到足够满意的解。也就是说只需要考虑前面部分振型对解的贡献。高阶振型对结构响应的影响通常较小。 此外，对于非线性问题通常不能采用振型叠加法，因为结构刚度矩阵随时间变化，系统特征解也随时间变化。,讨论：,

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